Урок 27. Математическая индукция

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №27. Математическая индукция.

Глоссарий

Индукция; принцип математической индукции; полная индукция; неполная индукция.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Если рассмотреть значения квадратного трехчлена при равного они соответственно равны . Заметим, что эти числа являются простыми. Исходя из этого, можно сделать вывод, что при любом натуральном n число является простым. Но так ли это на самом деле?

Мы проверили справедливость утверждения при n от 1 до 14. Возьмем n равное 41 и подставим в наш квадратный трехчлен.

При n = 41, получаем

-составное число!

Получили составное число, т.е. противоречие нашему утверждению.

Для строгого доказательства утверждений на множестве натуральных чисел используют метод полной математической индукции. Продемонстрируем этот метод на примере:

Первым шагом проверим базу индукции, т.е. справедливость неравенства при наименьшем натуральном числе n=1

1 шаг: при n=1

–неравенство выполняется

Вторым шагом будет индуктивное предположение, т.е. предположим, что неравенство верно для некоторого натурального n.

2 шаг: предположим, что неравенство верно при некотором натуральном n.

неравенство выполняется.

Далее выполним индуктивный переход, т.е. докажем, что из предположения, сделанного на втором шаге следует справедливость аналогичного неравенства для следующего натурального числа n+1

следует

умножим обе части на положительное число 2

Получим верное неравенство

Но!

Т.к.

Из следует

Т.о. доказательство методом полной математической индукции состоит в:

1) Проверке справедливости утверждения при ;

2) Доказательстве, что если утверждение верно для натурального числа , то оно верно и для следующего за ним .

Пример:

Доказать, что для любого натурального значения n справедливо равенство

1. При n=1 неравенство верно

1. Предположим, что для некоторого натурального n неравенство верно.

Докажем, что если неравенство верно для некоторого n, то оно верно и для , т.е.

Прибавим к обеим частям верного по предположению равенства число :

Преобразуем правую часть равенства:

Таким образом из справедливости равенства

Следует справедливость равенства

Пример:

Докажите, что делится на 133 без остатка.

1 шаг: при

– произведение делится на 133 без остатка.

2 шаг: предположим, что сумма делится на 133 без остатка.

3 шаг:докажем, что делится на 133 без остатка.

В ходе преобразований получаем сумму, которая делится на 133 без остатка, т.к. первое ее слагаемое содержит множитель который делится на 133 без остатка по предположению индукции сделанного на 2 шаге, а во втором слагаемом одним из множителей является 133. Следовательно, и вся сумма делится на 133 без остатка.