Урок 27. Теорема о вписанном угле

Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

∠ABC – вписанный угол
Вписанный угол АВС опирается на дугу АС.
Теорема о вписанном угле
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Пусть угол АВС — вписанный угол окружности с центром в точке О, опирающийся на дугу АС.
Дано: окружность с центром O, ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС.
Докажем, что градусная мера угла АВС равна половине градусной меры дуги АС.
Доказать: ∠ABC = 1/2 ∪AC
Доказательство:
Рассмотрим первый случай
1) Луч BO совпадает со стороной BC угла ABC

Проведём радиус OA

Треугольник АВО – равнобедренный. ∠ABO = ∠BAO.
Угол АОС является внешним углом треугольника АОВ, поэтому
∠AOC = ∠ABO + ∠BAO = 2∠ABO = 2∠ABC
Дуга АС меньше полуокружности, поэтому ∠ AOC = ∪AC
Получается, что градусная мера дуги АС равна удвоенной градусной мере ∠АВС
Поэтому градусная мера ∠АВС равна половине градусной меры дуги АС
2 ∙ ∠ABC = 1/2 ∪AC
что и требовалось доказать.
Дано: окружность с центром O, ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС.
Доказать: ∠ABC = 1/2 ∪AC
Доказательство:
Рассмотрим второй случай
2) Луч BO делит ∠ABC на два угла

Пусть луч ВО пересекает окружность в точке D
По доказанному выше,
∠ABC = 1/2 ∪AD
∠CBD — 1/2 ∪CD
Складывая почленно эти равенства, получим
∠ABC = 1/2 ∪AD + 1/2 ∪CD = 1/2(∪AD + ∪CD) = 1/2 ∪AC

Что и требовалось доказать.
Дано: окружность с центром O, ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС.
Доказать: ∠ABC = 1/2 ∪AC
Доказательство:
Рассмотрим третий случай
3) Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со сторонами угла ABC

Используя чертеж, проведите доказательство третьего случая самостоятельно.
Следствия из теоремы о вписанном угле
Следствие 1: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Докажите это утверждение самостоятельно.
Следствие 2: вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Справедливость этого утверждения докажите самостоятельно.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.