Урок 28. Обобщение и систематизация знаний по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника»

Конспект урока

Геометрия

7 класс

Урок № 28

Обобщение и систематизация знаний по теме:

«Соотношение между сторонами и углами треугольника»

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Сумма углов треугольника.
• Внешний угол треугольника.
• Свойства, признаки равенства прямоугольных треугольников.
• Неравенство треугольника.
• Соотношение между сторонами и углами треугольника.

Тезаурус:

Внешний угол треугольника ‑это угол смежный с каким-либо углом этого треугольника;

Соотношение между сторонами и углами: против большего угла лежит большая сторона;

Неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон;

Свойства прямоугольного треугольника:

• в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°;
• в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Треугольники. Виды треугольников.

Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Прямоугольный треугольник

Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой.

Свойства:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 45°.

3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Обратная теорема верна.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Соотношение между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике:

1. против большей стороны лежит больший угол;
2. против большего угла лежит большая сторона.

Неравенство треугольника

a < b+c

b < a+ c

c < a+b

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1.Найдите углы треугольника и определите его вид.

Используем теоремы:

Т1 Сумма углов треугольника равна 180°.

Т2 Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним.

Решение:

1 способ.

∠ВАС = 180° – 110°=70° смежные углы.

∠С = 180° – 70° – 40°=70°.

∆ АВС – равнобедренный, т. к. углы при основании равны

∠ВАС = ∠С = 70°.

2 способ.

∠С = 110° – 40° = 70°, т.к. внешний угол равен ∠В + ∠С.

Ответ: 40°, 70°, 70°.

Задача 2.

Периметр треугольника равен 32 см, а одна из сторон равна 8 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Используем неравество треугольника: каждая сторона ∆ меньше суммы двух других.

Решение:

Если ∠1 = ∠2, то ∠ВАС = ∠ВСА, т. е. ∆АВС – равнобедренный.

Пусть АВ = ВС = 8 см. Т. к. Р = 32 см. то АС = 16см. ∆ не существует, не выполняется неравенство треугольника 8+8 =16.

Пусть АС = 8 см, тогда АВ = ВС = (32 – 8) : 2 = 24:2=12.

Такой треугольник существует.

Ответ: 12 см, 12 см, 8 см.

Задача 3. В прямоугольном ∆АВС биссектриса АК = 20, внешний угол ∆ АВС равен 150°. Найти: СК, ВК, ВС.

Используем свойство: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

∠АВС = ∠ВАС = 90° ‑ 30°= 60°.

∠САК = ∠ВАК = 60°/2 = 30°, т. к. АК биссектриса.

∆АСК = ∠САК = 30°, следовательно, СК =20 : 2 = 10(см).

∆АКВ ‑ равнобедренный т.к. ∠КАВ = ∠АВК = 30° значит, ВК = АК = 20 (см).

ВС = 10 + 20=30 (см).

Ответ: 10 см, 20 см, 30 см.