Урок 28. Свойства хорд окружности

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Свойства хорд окружности
Теорема: Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.

Дано: окружность с центром O, AB – хорда, OC ⊥ AB
Доказать: AM = MB
Доказательство:
Проведём радиусы OA и OВ.

∆AOB — равнобедренный, OM ⊥ AB, следовательно OM – медиана, AM = MB
Утверждение доказано.
Обратная теорема: если радиус окружности делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дано: окружность с центром O, AB – хорда, AM = MB
Доказать: OC ⊥ AB
Докажите самостоятельно.
Докажем еще одно свойство хорд окружности: Дуги, заключенные между равными хордами, равны.

Дано: окружность с центром O, AB и CD – хорды, AB = CD
Доказать: ∪AB = ∪CD
Доказательство:
Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС и ОD
∆ AOB = ∆ COD (по трём сторонам: два радиуса и равные хорды), следовательно ∠COD = ∠BOA. Они являются центральными углами окружности. Значит, равны дуги, на которые они опираются, т.е. ∪AB = ∪CD
Самостоятельно докажите утверждение: Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Дано: окружность с центром O, AB и CD – хорды, AB || CD
Доказать: ∪AC = ∪DB

Теорема об отрезках пересекающихся дуг
Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Дано: окружность c центром O, AB и CD – хорды, M – точка пересечения хорд

Доказать: AM ∙ MB = CM ∙ MD.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ADM и BDM.

В этих треугольниках ∠ACM = ∠DBM как вписанные опирающиеся на одну и ту же дугу AD.
∠CMB = ∠DMA (вертикальные)
По первому признаку подобия треугольников
∆ ACM ~ ∆ DBM, отсюда следует равенство отношений
AM/DM = CM/BM, следовательно
AM ∙ MB = CM ∙ MD
Утверждение доказано.
Найдите в справочниках другие свойства хорд, докажите их самостоятельно.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.