Урок 29. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными

Конспект

Рассмотрим систему уравнений:

Преобразуем сначала второе уравнение системы, а точнее многочлен, который стоит в левой части уравнения:

Сгруппируем выделенные слагаемые:

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель, а саму скобку представим как выражение во второй степени, используя формулу квадрата разности. А из второй группы вынесем множитель –y за скобку.

Далее выносим общий множитель (x – 1) за скобки и получаем разложение изначального многочлена на множители:

Перепишем изначальную систему, заменив второе уравнение:

Стоит обратить внимание на второе уравнение. Произведение двух множителей равно нулю, а значит либо первый, либо второй множитель равен нулю.

Исходя из этого, мы получаем два случая, в первом (x – 1) = 0, а во втором (2x – 2 – y) = 0.

Говорят, что изначальная система равносильна совокупности систем уравнений, которых мы получили в первом и во втором случае:
 

Рассмотрим первый случай:

Из второго уравнения первой системы очевидно, что x = 1. Подставим это значение в первое уравнение и получим, что  или .

Т. е.

Теперь рассмотрим второй случай:

Тут рациональнее всего воспользоваться методом подстановки, выразив из второго уравнения переменную y:
y = 2x – 2.

Подставим выражение переменной y в первое уравнение, раскроем скобки, приведём подобные:

Решив квадратное уравнение и подставив получившееся корни во второе уравнение системы получим ещё две пары чисел, являющиеся решением системы:

Итак, изначальная система уравнений имеет 4 решения:

Рассмотрим ещё один пример.

Чтобы решить данную систему домножим второе уравнение на 3:

А теперь сложим почленно оба уравнения:
5y2 = 10xy.

Приведём подобные, перенесём все члены первого уравнения в левую сторону от знака равно, вынесем общий множитель и разделим обе части уравнения на 5.

Как и в предыдущем примере, первое уравнение системы разбивает решение на два случая. В первом y = 0, а во втором y – 2x = 0:
 

Решив каждую из получившихся систем, получим два решения изначальной системы: (0; 0) и (–0,5; –1).