Урок 29. Решение задач с помощью квадратных уравненийТема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
Задача №1.
Иван Иванович приехал в магазин покупать изгородь для своего дачного участка, имеющего прямоугольную форму, но забыл его размеры. Какой длины изгородь надо купить Ивану Ивановичу, если единственное, что он помнит, это площадь участка – 750 м2, и то, что длина участка на 5 метров больше ширины?
Пусть ширина участка будет х. Чаще всего удобнее брать за х меньшую из неизвестных величин. Тогда длина участка составит х + 5.
Площадь прямоугольника S = х • (x + 5)
x • (x + 5) = 750,
x2 + 5x — 750 = 0.
Найдем дискриминант этого уравнения и его корни.
a = 1, b = 5, c = -750
D = b2 — 4ac
D = 52 — 4 • 1 • (-750) = 25 + 3000 = 3025 = 552
x1,2 = (-5 ± √3025)/(2 • 1), x1 = (-5 — 55)/2 или x2 = (-5 + 55)/2.
x1 = -30 или x2 = 25
Первый из найденных корней является посторонним по смыслу задачи, значит, ширина участка будет равна 25 м. Следовательно, длина окажется равной 25 + 5 = 30 м.
Теперь Иван Иванович может рассчитать периметр своего участка.
P = 2 • (25 + 30) = 110 м
Необходимо купить 110 м изгороди.
Задача №2.
Известно, что в прямоугольном треугольнике один из катетов на 4 сантиметра меньше гипотенузы, а другой – на 2 сантиметра меньше гипотенузы. Найдем длину гипотенузы.
Пусть гипотенуза треугольника будет равна х см. Тогда бОльший катет будет равен х – 2 см, а меньший х – 4 см.
По теореме Пифагора
x2 = (x — 2)2 + (x — 4)2
Упростим полученное уравнение, используя формулу квадрат разности.
x2 = x2 — 4x + 4 + x2 — 8x + 16
x2 = 2x2 — 12x + 20
x2 — 12x + 20 = 0
Решив полученное квадратное уравнение, найдем два корня.
x1 = 2, x2 = 10
2 является посторонним корнем по смыслу задачи, т. к. в этом случае один из катетов получится равным 0, а второй будет отрицательным. Значит, гипотенуза треугольника равна 10 см, а его катеты 8 см и 6 см.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.