Урок 3. Вычитание векторов

Конспект
Разностью векторов a ⃗ и b ⃗ называется такой вектор, сумма которого с вектором b ⃗ равна вектору a ⃗: a ⃗ — b ⃗ = c ⃗, если c ⃗ + b ⃗ = a ⃗.
Построим разность векторов a ⃗ и b ⃗. Для этого от произвольной точки О отложим векторы (OA) ⃗ и (OB) ⃗, соответственно равные данным векторам.

(OA) ⃗ = a ⃗, (OB) ⃗= b ⃗.
По правилу треугольника сумма векторов (OB) ⃗ и (BA) ⃗ равна вектору (OA) ⃗: (OB) ⃗+ (BA) ⃗= (OA) ⃗, b ⃗+ (BA) ⃗= a ⃗. Таким образом, согласно переместительному закону сложения векторов, сумма векторов (BA) ⃗ и b ⃗ равна вектору a ⃗: (BA) ⃗+ b ⃗= a ⃗.
По определению разности векторов это означает, что вектор (BA) ⃗ – это вектор, равный разности векторов a ⃗ и b ⃗: (BA) ⃗= a ⃗- b ⃗.
Построить разность векторов можно и другим способом. Для этого нам понадобится понятие противоположного вектора.
Векторы называются противоположными, если они имеют одинаковые длины и противоположно направлены: |a ⃗| = |(a1) ⃗| и a ⃗↑↓(a1) ⃗
Вектор, противоположный вектору a ⃗, обозначается вектором —a ⃗ (минус вектор а).
Очевидно, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: a ⃗ + (- a ⃗) = 0 ⃗.
Докажем теорему о разности двух векторов: для любых векторов a ⃗ и b ⃗ справедливо равенство a ⃗- b ⃗ = a ⃗ + (- b ⃗).
Воспользуемся определением разности векторов и получим следующее равенство: (a ⃗- b ⃗) + b ⃗ = a ⃗, прибавим к обеим частям равенства вектор — b ⃗ (минус бэ) и преобразуем получившееся равенство:
(a ⃗- b ⃗) + (b) ⃗+ (- b ⃗) = a ⃗ + (- b ⃗),
(a ⃗- b ⃗) + (0) ⃗ = a ⃗ + (- b ⃗),
a ⃗- b ⃗ = a ⃗ + (- b ⃗).
Мы доказали, что разность векторов a ⃗ и b ⃗ равна сумме вектора a ⃗ и вектора, противоположного вектору b ⃗.
Для построения разности двух векторов воспользуемся доказанной теоремой.
Отметим произвольную точку О и от неё отложим вектор (OA) ⃗, равный вектору a ⃗.

От точки А отложим вектор (AB) ⃗, равный вектору —b ⃗.

Вектор (ОВ) ⃗ будет суммой векторов a ⃗ и —b ⃗, а значит, и разностью векторов a ⃗ и b ⃗.
(OB) ⃗ = a ⃗ + (- b ⃗) = a ⃗ — (b) ⃗.