Урок 3. Признаки параллелограмма

Есть свойства фигур, а есть признаки. Например, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это свойство равнобедренного треугольника. Если же в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Это уже признак равнобедренного треугольника. Признак отличается от свойства тем, что в свойстве фигура дана и мы говорим о ней, а в признаке нам не дана фигура и мы ее распознаем или ПРИЗНАЕМ.
По определению параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если потребуется из множества четырёхугольников выбрать параллелограмм, то придется проверять параллельность его сторон. Это неудобно. На помощь приходят признаки параллелограмма.
Первый признак параллелограмма:
Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором стороны попарно равны, проведем в нём диагональ AC.
Доказательство:
Треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам.
∠ACB = ∠CAD, ∠BAC = ∠ACD (накрест лежащие углы), следовательно AB || CD, BC || AD, т.е. ABCD – параллелограмм по определению.
Второй признак параллелограмма:
Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Для доказательства в четырёхугольнике ABCD проведем диагональ AC, четырёхугольник разобьется на два треугольника, которые равны по двум сторонам и углу между ними.
Доказательство:
AC – общая сторона, ∠3 = ∠4 (накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельными прямыми AB и CD) и AB = CD. Поэтому ∠1 = ∠2 и они накрест лежащие углы при пересечении секущей AC прямыми BC и AD. Следовательно, BC || AD и ABCD – параллелограмм по определению.
Третий признак параллелограмма
Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство:
Треугольники AOB и COD равны, т.к. AO = OC, BO = OD и ∠BOC = ∠AOD.
Следовательно BC = AD, ∠3 = ∠4 (накрест лежащие при пересечении секущей AC прямыми BC и AD) и BC || AD. Поэтому ABCD – параллелограмм по признаку.
Признаки параллелограмма – это утверждения, обратные свойствам параллелограмма.
Признаки параллелограмма
1) Если в четырехугольнике ABCD AB = CD и BC = AD, то ABCD – параллелограмм.
2) Если в четырёхугольнике ABCD AB = CD и AB || CD, то ABCD – параллелограмм.
3) Если в четырёхугольнике ABCD AC ∩ BD = O, AO = OC, BO = OD, то ABCD – параллелограмм.