Урок 3. Сравнение отрезков и углов

Конспект урока

Геометрия

7 класс

Урок № 3

Сравнение отрезков и углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Угол.
• Луч.
• Биссектриса угла.
• Равные отрезки и углы.
• Середина отрезка.

Тезаурус:

Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.

Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол

Середина отрезка – это точка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

Две геометрические фигуры на плоскости называются равными, если их можно совместить наложением.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

.Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы.// Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

В окружающем нас мире очень много предметов, которые имеют одинаковую форму и размеры.

Например, два одинаковых мяча или две одинаковые тетради. Сегодня мы узнаем, как называются одинаковые геометрические фигуры, например, такие как отрезки и углы.

Для начала, рассмотрим, какие фигуры в геометрии называются равными.

Как установить, что плоские фигуры одинаковые?

Для этого существует способ наложения, опишем его.

Суть данного метода заключается в том, что если при наложении двух фигур друг на друга, они совместятся, то говорят, что первая фигура равна второй фигуре.

Т.е. две плоские геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Так сравнивают отрезки и углы.

Для начала сравним отрезки.

Возьмём три отрезка АВ, CD и FE и сравним их между собой.

Чтобы установить, равны отрезки или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы один из концов отрезков совместился. Если при этом совместятся и другие концы, то отрезки будут считаться равными. Если два других конца не совместятся, то отрезки, соответственно, не будут между собой равны. При этом меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого.

В нашем случае отрезок АВ совместился с отрезком CD, следовательно, эти отрезки равны. А отрезок FE не совместился с отрезком АВ, следовательно, эти отрезки не равные, т.к. отрезок АВ составляет часть отрезка FE, то отрезок АВ будет меньше отрезка FE.

Аналогично можно сравнить отрезок CD с отрезком FE, отрезок FE не совместился с отрезком CD, следовательно, эти отрезки не равные, т.к. отрезок CD составляет часть отрезка FE, то отрезок CD будет меньше отрезка FE.

АВ = CD,

АВ < FE,

CD < FE.

Введём еще одно понятие, связанное с отрезками – середина отрезка.

АВ = ВС,

В – середина отрезка.

Середина отрезка – это точка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка.

Например, нарисуем отрезок АС, отметим на отрезке точку В так, чтобы отрезки АВ и ВС были равными, следовательно, точка В будет серединой отрезка.

Теперь сравним углы.

∠А = ∠C,

∠А <∠В,

∠C<∠В.

Возьмём три неразвёрнутых угла А, В, С и сравним их между собой.

Чтобы установить, равны углы или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась с другой, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон.

Если при этом совместятся и другие стороны, то углы будут считаться равными. Если эти стороны не совместятся, то углы соответственно, не будут между собой равны. При этом меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.

В нашем случае угол А совместился с углом С, следовательно, эти углы равны. А угол В не совместился с углом А, следовательно, эти углы не равные, т. к. угол А составляет часть угла В, то угол А будет меньше угла В.

Аналогично можно сравнить угол С с углом В, угол С не совместился с углом В, следовательно, эти углы не равны; т. к. угол С составляет часть угла В, то угол С будет меньше угла В.

Если сравнивать развёрнутый и неразвёрнутый угол, то неразвёрнутый составит часть от развёрнутого, следовательно, развёрнутый угол больше неразвёрнутого.

∠KАC <∠ВAC.

∠В = ∠О

При этом два развёрнутых угла равны между собой, т. к. совпадают при наложении.

Теперь введём понятие, связанное с углами, поговорим о биссектрисе – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Итак, сегодня получили представление о том, как сравнивать фигуры наложением; ввели понятия: равные отрезки и углы, биссектриса угла и середина отрезка.

Решим задачу, связанную с понятием «середина отрезка».

Отметим на прямой К точки Р и В, так чтобы они лежали между точками К и С, при этом точка Р пусть лежит между точками К и В, а отрезки КВ и РС равны. Является ли середина отрезка КС серединой отрезка РВ?

Решение:

Для решения задачи обратимся к рисунку, соответствующему условию задачи.

Из рисунка видно, что КВ = КР + РВ, а РC = РВ + BС, так как КВ = РС, то КР = ВС.

Пусть точка О – середина отрезка РВ, т. е. РО = OВ, РВ = РO + OВ.

КС = КO + OС, КO = КР + РO, OС = OВ + BС. А так как КР = ВС и РО = OВ, то и КО = ОС, следовательно, О является серединой и отрезка КС.

Ответ: является.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На прямой с отмечены точки А и D, которые лежат между точками К и B, точка А лежит между точками К и D, отрезки КD и АB равны. Является ли середина отрезка КB серединой отрезка АD?

Решение. Нарисуем рисунок по условию задачи.

KD = KA + AD, AB = AD + DB, так как KD = AB, то KА = DB.

Пусть точка О – середина отрезка AD, т. е. AО = OD, AD = AO + OD.

KB = KO + OB, KO = KА + AO, OB = OD + DB. Так как KА = DB и АО = OD, то КО = ОВ, следовательно, О является серединой и отрезка КВ.

Ответ: О является серединой и отрезка КВ и AD.

№ 2. Представьте угол, как сумму двух других. Заполните пропуски в таблице.

Решение: По условию задания, нужно представить угол как сумму двух других. Посмотрим на рисунок.

∠АОВ = ∠СОВ +∠АОС

∠АОD = ∠АОВ+∠ВОD

∠СОD = ∠ВОD+∠СОВ

Остаётся заполнить пропуски в таблице.

Ответ: