Урок 31. Куб суммы. Куб разности

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 31

Куб суммы. Куб разности

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Куб суммы. Куб разности.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Куб суммы.

Рассмотрим произведение:

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

a3 + 2a2b + b2a + a2b + 2ab2 + b 3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Куб разности.

Аналогично докажем формулу «куб разности».

Рассмотрим произведение:

(a – b)3 = (a – b)2(a – b) =(a2 – 2ab + b2)(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a3 – 2a2b + b2a – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Найдите куб двучлена:

(a + 3)3 = a3 + 3a2 · 3 + 3a · 32 + 33 = a3 + 9a2 + 27a + 27.

(10 – a)3 =103 – 3 · 102 a + 3 · 10 · a2 – a3 = 1000 – 300a + 30a2 – a3.

Задача 2.

Упростите: x3 + 3x(x + 4) – (x + 2)3

x3 + 3×2 + 12x – (x3 + 6×2 + 12x + 8) =

x3 + 3×2 + 12x – x3 – 6×2 – 12x – 8 =

= -3×2 – 8.

Ответ: -3×2 – 8.

Задача 3.

Решите уравнение:

x3 + 9×2 – (x + 3)3 = 0

x3 + 9×2 – (x3 + 9×2 + 27x + 27) = 0

x3 + 9×2 – x3 – 9×2 – 27x – 27 = 0

-27x = 27

Ответ: х = -1.