Урок 33. Синус, косинус и тангенс аргументов а и -аКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №33. Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- преобразование несложных тригонометрических выражений с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а;
- вычисление значения тригонометрических выражений с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а;
- доказательство несложных тригонометрических тождеств с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а;
- решение несложных тригонометрических уравнений с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а.
Глоссарий по теме
Равносильные уравнения — Уравнения, множества корней которых совпадают.
Радианная мера угла — Отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Актуализация знаний
Сегодня мы познакомимся со свойством синуса, косинуса и тангенса противоположных углов.
Давайте вспомним координаты симметричных точек. Если точки в координатной плоскости симметричны относительно оси Ох, то их абсциссы одинаковы, ординаты противоположные числа. Например, А(-2;3) симметрична В(-2; -3) относительно оси Ох.
Если точки симметричны относительно оси Оу, то у них одинаковые ординаты, абсциссы противоположны. Это точки А(-2;3) и С(2;3).
Рисунок 1 – точки A, B, C, D на координатной плоскости
Пример. Точка А(-7;8) симметрична точке В относительно оси Ох (рис. 1).
Найдите координаты точки В.
Выберите правильный ответ:
1)(7;-8); 2)(-7;-8); 3) (7;8).
Ответ: 2.
Точка С(3,5;-9) симметрична точке D относительно оси Оу. Найдите координаты точки D.
Выберите правильный ответ:
1)(3,5;9); 2)(-3,5;-9); 3) (-3,5;9).
Ответ: 2.
1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.
Рисунок 2 – точки М1, М2 на единичной окружности
Точка М1 получена поворотом точки Р(1;0) на угол 
, а точка М2 на угол 
.Точки М1и М2 будут симметричны относительно оси Ох, так как ось Ох делит угол 
пополам. Значит, у этих точек одна и та же абсцисса. Мы знаем, что абсцисса точки на единичной окружности это косинус угла. Значит 
(1).
Ординаты точек 
противоположные числа. А так как ордината точки на единичной окружности это синус угла, то 
(2).
Тангенс угла — это отношение синуса угла на косинус угла.
Получаем формулу 
(3)
Аналогично доказывается, что 
(4).
Равенства (1)-(4) позволяют сводить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.
Например: 
;
;
.
Обратите внимание: если нам нужно вычислить квадрат числа, то правила знаков не применяем, так как в квадрате число всегда неотрицательно.
Например: 
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Упростим выражение 
.
Пример 2. Докажем тождество 
Преобразуем левую часть тождества
.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.