Урок 33. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Конспект

Напомним, что арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(an) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n
an + 1 = an + d, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d:
d = an + 1 – an.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность, можно найти любой член арифметической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена:
an = a1 + (n – 1)d.

Свойство арифметической прогрессии.

• Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

• Верно и обратное утверждение: если в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то последовательность является арифметической прогрессией.

Пусть в последовательности (an) для любого n ≥ 2 верно
.

Тогда

Действительно, последнее равенство означает, что разность между последующим и предыдущим членами последовательности остаётся постоянной. Значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Таким образом, мы получили, что последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Это свойство арифметической прогрессии называется её характеристическим свойством. Возможно, именно это свойство члена прогрессии быть средним арифметическим своих соседей и дало название прогрессии – арифметическая прогрессия.

Решим задачу.

(bn) – арифметическая прогрессия, b3 = 8; b5 = –4. Нужно найти b4.

По характеристическому свойству арифметической прогрессии её четвёртый член равен среднему арифметическому третьего и пятого членов:

Можно доказать, что любой член арифметической прогрессии, равен не только среднему арифметическому своих непосредственных соседей, но и среднему арифметическому членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.

Например, 10-й член арифметической прогрессии (an) равен среднему арифметическому 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го:

Решим задачу.

Пусть (cn) – арифметическая прогрессия, c23 = –27, c45 = –93. Какой член арифметической прогрессии равен полусумме чисел –27 и –93?

Заметим, что точно посередине между 23-м и 45-м членами арифметической прогрессии находится 34-й её член:

Поэтому он равен их среднему арифметическому, то есть полусумме:

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида
an = kn + b, где k и b – некоторые числа.

Действительно, если (an) – арифметическая прогрессия, то
an = a1 + (n – 1)d;
an = a1 + nd – d;
an = dn + (a1 – d);
k = d; b = a1 – d.

Верно и обратное: пусть последовательность задана формулой вида an = kn + b, где k и b – некоторые числа. Тогда
an + 1 – an = k(n + 1) + b – (kn + b) = kn + k + b – kn – b = k.

Поэтому данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью k.