Урок 34. Контрольно-обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения»

Конспект

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём a ≠ 0.

Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения, причём число a – первый, или старший, коэффициент, число b – второй коэффициент, число c – свободный член.

Полные и неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным квадратным уравнением.

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один коэффициент равен нулю, называют неполным квадратным уравнением.

x2 – 5x + 19 = 0; 3x2 – 6x + 4 = 0 – полные квадратные уравнения.
x2 – 6 = 0; x2 + 6 = 0; 6x2 = 0; 3x2 + x = 0 – неполные квадратные уравнения.

Формулы корней квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0;
D = b2 – 4ac.

1. Если D < 0, то корней нет.
2. Если D = 0, то уравнение имеет ровно 1 корень: .
3. Если D > 0, то уравнение имеет ровно 2 корня: .

Если коэффициент при x чётный, то есть b = 2k, то удобнее воспользоваться формулой D1 = k2 – ac; .

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

x2 – 5x + 19 = 0; x2 – 64 = 0; x2 – 6x = 0 – приведённые квадратные уравнения.

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Если x1 и x2 – корни уравнения x2 + bx + c = 0,
то x1 + x2 = –b; x1 • x2 = c.

Обратная теорема

Если числа m и n таковы, что m + n = –p; mn = q,
то эти числа являются корнями уравнения x2 + px + q = 0.

Дробные рациональные уравнения

• Уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями, называют рациональным уравнением.
• Рациональное уравнение, в котором обе части являются целыми выражения, называют целым рациональным уравнением.
• Рациональное уравнение, в котором хотя бы одна часть является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением.

 – целые рациональные уравнения.
 – дробные рациональные уравнения.

Решение дробного рационального уравнения

1. Перенести всё в одну часть (в другой части остаётся 0).
2. Привести все дроби к общему знаменателю.
3. Выяснить, при каких значениях переменной числитель полученной дроби равен нулю (решить целое рациональное уравнение «числитель равен нулю»).
4. Подставить все найденные корни в знаменатель и отобрать те из них, при которых знаменатель не равен нулю.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.