Урок 34. Повторительно-обобщающий урок по теме «Окружность»

Напомним основные понятия и выводы теме «Окружность»
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.
Общая точка прямой и окружности называется точкой касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Центральный угол может быть развернутым и неразвернутым.
Если центральный угол развернутый, то ему соответствуют две полуокружности.
Если центральный угол неразвернутый, то дуга, расположенная внутри этого угла меньше полуокружности.

Дугу окружности можно измерять в градусах.

∪NKM = 180° ∪NM = ∠NOM ∪NKM = 360° — ∠NOM
Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

∠ABC – вписанный угол
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Следствие 1: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие 2: вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.

Теорема: Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.
Если радиус окружности делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. Дуги, заключенные между равными хордами, равны. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

AM ∙ MB = CM ∙ MD.
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам.

AD – биссектриса угла BCA
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Теорема. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема: высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Для тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке именно продолжения высот.

Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

По свойству касательных BK = BP, CK = CM, DM = DN, AN = AP.
Сумма отрезков
АВ + CD = AP + PB + DM + MC
BC + AD = BK + KC + AN + ND
Следовательно, АВ + CD = ВC + AD.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность обладает свойством: в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.
Посмотреть интерактивный материал Посмотреть интерактивный материал