Урок 38. Обобщение и систематизация знаний по теме «Алгебраические дроби»

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 38

Обобщение и систематизация знаний по теме «Алгебраические дроби»

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Делимость многочленов.
• Деление многочленов нацело и с остатком.
• Алгоритм Евклида.

Тезаурус:

Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел или отдельное число (без буквенных множителей) или букву.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Определение.

Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел или отдельное число (без буквенных множителей) или букву.

Например, , , , 6, m.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Например,

Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить, при условии, что B, C и D ненулевые многочлены. Алгебраические дроби обладают рядом свойств, которые нужно запомнить. Алгебраическая дробь – это рациональное выражение.

Говорят, что многочлен А делится нацело на ненулевой многочлен B, если существует многочлен C такой, что

Например, многочлен делится на многочлен , так как

Например, разделим многочлен на (x ‑ 2):

Выполним деление уголком. Предварительно представим делимое в порядке убывания степеней:

Старшая степень делителя равна единице, а делимого трём, значит, берём по и умножаем его на каждое слагаемое делителя. Получим, вычитаем: (. Сносим . Теперь старшая степень делимого два, значит, берем по , умножаем его на делитель. Находим разность: . Берём по четыре, находим разность: . Получаем 0.

Итак,

Например, разделим многочлен на (x ‑ 3):

Выполним деление уголком. Предварительно представим делимое в порядке убывания степеней: Старшая степень делителя равна единице, а делимого трём, значит, берём по и умножаем его на каждое слагаемое делителя. Получим, вычитаем: (. Сносим . Теперь старшая степень делимого два, значит, берем по , умножаем его на делитель. Находим разность: . Берём по девять, находим разность: . Получаем 19.

Итак,

Сегодня на уроке мы научились делить многочлен на многочлен нацело и с остатком.

Материал для углублённого изучения темы

Процесс нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов называют алгоритмом Евклида. Рассмотрим его на примере.

Найдём наибольший общий делитель многочленов

и

Воспользуемся делением уголком. Т. к. старшие степени делимого и делителя совпадают, берём по 1. Остаток .

Делим многочлен В на остаток нацело.

Искомый наибольший общий делитель данных многочленов есть последний неравный нулевому многочлену остаток в алгоритме Евклида, т. е.

НОД (A, B) =

Разбор заданий тренировочного модуля