Урок 39. Метод математической индукции

Мы научились находить сумму большого количества чисел, кратных, например, числу 7.
Мы научились находить сумму большого количества слагаемых – степеней числа 2. А чему равна сумма квадратов первых трёхсот натуральных чисел?
За двести с лишним лет до нашей эры великий греческий учёный Архимед вывел формулу: сумма квадратов первых n натуральных чисел равна…
По этой формуле не составит большого труда найти сумму квадратов натуральных чисел от 1 до 300. Выполнив два умножения в столбик, получим 9 миллионов 45 тысяч пятьдесят.
Но как доказать, что эта формула верна для любого натурального числа n?
Проверим, верна ли формула при n равном единице. В левой части одно слагаемое, оно равно единице. В правой части в числителе дроби получаем 6, дробь равна 1.
При n равном единице формула верна.
Теперь предположим, что формула верна при n равном k, и докажем, что она верна при n равном k + 1.
Во-первых, упростим правую часть равенства.
В левой части воспользуемся предположением и заменим сумму первых k слагаемых дробью, потом приведём дроби к общему знаменателю и вынесем в числителе общий множитель k + 1 за скобки.
Выражение в скобках упростим и разложим на множители.
Мы привели обе части формулы для n равного k + 1 к одному и тому же виду, то есть утверждение для n равного k + 1 верно.
Итак, мы доказали, что если формула верна для какого-либо натурального числа k, то она верна и для следующего за ним натурального числа k + 1. Так как формула верна для n равного 1, то она верна и для n равного двум. А так как она верна для n равного двум, то она верна и для следующего натурального числа n равного трём, и так далее до бесконечности.
Применённый метод доказательства называется методом математической индукции.
Он основан на принципе математической индукции:
Утверждение верно при любом натуральном n, если выполняются два условия:
Первое. Утверждение верно при n = 1.
Второе. Из того, что утверждение верно для n = k следует, что оно верно для n = k + 1.
Докажем, что при любом натуральном n число 15n — 1 кратно 7, то есть делится на 7.
При n равном единице 15n — 1 равно 14. 14 кратно семи. При n равном единице утверждение верно.
Теперь предположим, что утверждение верно при n равном k, и докажем, что оно верно при n равном k + 1.
Выполним преобразования. В первом слагаемом есть множитель 14, поэтому оно делится на 14. Второе слагаемое делится на 14 по предположению. Поэтому и вся сумма делится на 14, то есть утверждение при n равном k + 1 верно.
Тогда в силу принципа математической индукции утверждение 15n-1 кратно 7 верно при любом натуральном n.