Урок 4. Умножение вектора на числоКонспект
Представим себе, что велосипедист движется прямолинейно с постоянной скоростью, мотоциклист движется в том же направлении со скоростью вдвое большей. Навстречу им, то есть в противоположном направлении, движется автомобиль, скорость которого втрое больше скорости велосипедиста.
Если мы изобразим скорость велосипедиста вектором v ⃗, то скорость мотоциклиста можно изобразить вектором, имеющим то же направление, что и вектор v ⃗, а длина которого в два раза больше. Обозначим этот вектор 2v ⃗. Скорость автомобиля будет изображаться вектором, противоположным вектору v ⃗, длина которого в три раза больше, чем длина вектора v ⃗, то есть вектором -3v ⃗.
Этот пример показывает, как следует ввести понятие умножения вектора.
Произведением ненулевого вектора a ⃗ на число k называется такой вектор b ⃗, длина которого равна произведению модуля числа k на длину вектора a ⃗, причём векторы a ⃗ и b ⃗ сонаправлены, если k неотрицательное число и противоположно направлены, если k — число отрицательное.
Произведением ненулевого вектора a ⃗ на число k называется такой вектор b ⃗, длина которого равна |k|∙|a ⃗|, причём a ⃗↑↑b ⃗ , если k>0, a ⃗↑↓b ⃗ , если k<0. Произведение вектора a ⃗ на число k обозначается так: ka ⃗.
Произведением нулевого вектора на любое число является нулевой вектор: k0 ⃗ = 0 ⃗.
Из определения произведения вектора на число следует, что произведение любого вектора на число нуль равно нулевому вектору: 0a ⃗ = 0 ⃗.
Вектор a ⃗ и вектор, равный произведению вектора a ⃗ на число k, коллинеарны: a ⃗∥k(a) ⃗
Умножение вектора на число обладает основными свойствами, выраженными следующими законами.
Для любых чисел k, l и любых векторов a ⃗ и b ⃗ справедливы равенства:
1) (kl)a ⃗ = k(la ⃗) (сочетательный закон)
2) (k + l)a ⃗ = ka ⃗ + la ⃗(первый распределительный закон)
3) k(a ⃗+ b ⃗) = ka ⃗+ kb ⃗ (второй распределительный закон)