Урок 41. Уравнение cos x = a

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 41. Уравнение cos x = a.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• решение уравнения для табличных значений
• арккосинус числа, простейшие тождества с арккосинусом
• решение уравнения sin x = a для произвольных значений
• решение простейших тригонометрических уравнений;
• решение уравнения вида
• решение уравнения вида ;
• решение уравнения вида ;
• вычисление значений арккосинуса числа.

Глоссарий по теме

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арккосинус числа m обозначают: .

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. Под ред. А.Б. Жижченко. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс.310-314.

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс. 69-88.

Открытые электронные ресурсы:

2. Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Решение тригонометрического уравнения на первом этапе целесообразно выполнять с использованием тригонометрической окружности. Из рисунка видно, что при , таких точек нет, при , такая точка одна, при , таких точек две.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой x = m с тригонометрической окружностью

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(π/6) и N(-π/6).

Рисунок 2 – Решение уравнения

Точка M(π/6) соответствует всем числа вида .

Точка N(-π/6) соответствует всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

.

Ответ: .

Чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, вводится понятие арккосинуса.

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арккосинус числа m обозначают:

Для

Если и, то .

Два простейших тождества для арккосинуса.

1. для любого m:
2. для любого α:

Из рисунка видно, что .

Рисунок 3 – Связь между и

Решением уравнения являются все числа вида

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Решите уравнение .

В ответ запишите наименьший положительный корень.

Решение:

При получаем .

При увеличении значений k значение первого корня будет отрицательным, а значение второго корня будет увеличиваться.

При уменьшении значений k значение первого корня будет увеличиваться, а значение второго корня будет отрицательным. Поэтому наименьшее положительное значение корня 1.

Ответ: 1

№2.Решите уравнение . Определите, сколько решений имеет это уравнение при:

1. k=-3

Ответ: 0

1. k=0

Ответ: 4

1. k=2

Ответ: 4

Решение:

Запишем решение данного уравнения в виде:

Тогда:

Первое уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Второе уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Поэтому при уравнение будет иметь 4 решения, а при ни одного.