Урок 42. Делители натурального числа

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 42

Делители натурального числа

Перечень рассматриваемых вопросов:

— делители числа;

— кратные числа;

— признаки делимости;

— разложение на простые множители.

Тезаурус

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Все, что познаётся, имеет число, ибо невозможно ни понять ничего, ни познать без него», – сказал в своё время Пифагор. Эти слова очень кстати подходят к теме нашего урока «Делители натурального числа».

Выясним, что называют делителем.

Если натуральное число а можно разделить на натуральное число b, то это число b и будет делителем натурального числа а.

Мы уже знаем, что натуральные числа бывают простыми и составными.

Рассмотрим делители простых и составных чисел.

У простых чисел только два делителя –единица и само это число.

У составных чисел делителей больше.

Например, 3 – простое число, его делители 1 и 3.

14 – составное число, его делители 1, 2, 7 и 14.

Если делитель – простое число, то его называют простым делителем. Так, в наших примерах простыми делителями являются числа 2, 3, 7.

Можно ли представить любое составное число в виде произведения простых множителей? Ответ однозначный – да. Такое действие в математике называют разложение на простые множители.

Например, 36 – это произведение простых множителей:

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

Есть и другая форма записи разложения на простые множители любого числа.

Она представляет собой таблицу из двух колонок. В левую часть вначале записывается число, которое нужно разложить на простые множители, а в правую – простые делители этого числа. При этом следующим слева после исходного числа записывается число, которое является частным от деления на простое число справа. Так запись продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет единицей.

Например, разложим число 100 на простые множители.

Разделим 100 на 2, частное равно 50;

50 разделим на 2, частное равно 25;

25 разделим на 5, частное равно 5;

5 разделим само на себя, получаем 1.

То есть простые множители числа 100:

100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52

Эти множители числа 100 и есть делители этого числа, только добавим ещё единицу и всевозможные произведения простых множителей.

Таким образом, делители числа 100 – это числа 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,100. Других делителей у числа 100 нет.

В дальнейшем нам понадобится ещё одно математическое понятие – кратное.

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка. Иначе говоря, это исходное число, увеличенное в несколько раз.

Например, кратное числа 3 – это числа: 3, т. к. оно больше исходного числа 3 в один раз; 6, т. к. оно больше исходного числа 3 в 2 раза; 9, т. к. оно больше исходного числа 3 в 3 раза и т. д.

Если находить все делители натуральных чисел, то получится интересное свойство, о котором сейчас вы узнаете.

Например, найдём все делители числа 32.

Это будут числа:

Начиная с середины, все пары чисел при умножении будут давать 32.

Благодаря этому свойству, можно упростить поиск делителей числа. Для этого при поиске делителей достаточно найти «середину», а далее для нахождения остальных делителей числа остаётся найти частное от деления исходного числа на уже найденные делители.

У нас середина – это числа 4 и 8.

Найдём следующие делители:

32 : 2 = 16

32 : 1 = 32

Тренировочные задания

№ 1. Какую из цифр 2, 3, 4 нужно подставить в число 5_ вместо пропуска, чтобы получить кратное числа 3?

Варианты ответа: 2, 3, 4.

Решение. Вспомним признак делимости на 3.Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Из представленных цифр подходит только 4, т.к. 5 + 2 = 7 – не делится на 3; 5 + 3 = 8 – не делится на 3; а 5 + 4 = 9 – делится на 3.

Ответ: 4.

№ 2. Разложите произведение на простые множители 25 и 24.

Решение. Разложим отдельно числа 25 и 24 на простые множители, а затем найдём произведение всех полученных простых множителей от 24 и 25.

25 · 24 = 52 ·23 · 3

Ответ: 25· 24 = 52 · 23 · 3