Урок 42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
• Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
• Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

Актуализация знаний

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Пример

Построить график уравнения 2х+у =1

у = -2х + 1

Если х=0, то у=1;

Если х=2, то у=-3.

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Пример

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
2. Пусть точка М1(х1,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М2(х1,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2

Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М1(х1; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.

Пример

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6

Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Пример

Решите систему:

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3). 

Рисунок 3 – решение системы

Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

Рисунок 4 – решение системы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.

1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

Рисунок 5 – решение неравенства

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы

Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

Рисунок 6 – решение системы

Если к системе добавить еще одно неравенство

, то получится система трех неравенств с двумя переменными

Этой системой задается треугольник (рис. 7)

Рисунок 7 – решение системы

Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .