Урок 42. Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестнымКонспект урока
Алгебра
7 класс
Урок № 42
Уравнения первой степени с одним неизвестным. Линейные уравнения с одним неизвестным
Перечень рассматриваемых вопросов:
Линейные уравнения.
Корень уравнения.
Решение линейных уравнений.
Тезаурус:
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.
Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Давайте посмотрим на 2 уравнения: 10x = 36 и 3×2 = 2
Можем ли мы сказать, что оба уравнения являются линейными уравнениями первой степени?
Конечно, нет. Хотя, по определению линейных уравнений, оба уравнения подходят, у второго уравнения переменная входит в него во второй степени, а это противоречит отличительной особенности линейного уравнения первой степени.
Определение: Уравнение вида ax = b, где – x переменная, a, b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
А что означает решить уравнение?
Решить уравнение – означает найти все его корни или доказать, что корней нет.
Линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.
Давайте подумаем, является ли уравнение 2(5x + 4) = 2x – 16 – линейным уравнением первой степени? Нет, так как оно не записано в виде ax = b. Можно ли привести его к такому виду?
Попробуем это сделать. Переменная x входит в это уравнение первой степени. Все такие уравнения можно преобразовать в вид ax + b = 0 с помощью тождественных преобразований. Для этого раскроем скобки в левой части уравнения, воспользовавшись распределительным законом умножения.
10x + 8 = 2x + 16
Вычтем из правой и левой частей уравнения 2x и 8.
Затем приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим уравнение стандартного вида.
8x = 8
А как же проверить, является ли число корнем уравнения, не решая его?
В таком случае, нам достаточно подставить значение переменной в уравнение и проверить, выполняется равенство или нет.
Чтобы узнать, является ли число корнем уравнения, нужно:
— Подставить вместо переменной числовое значение.
— Упростить.
— Посмотреть, получилось верное равенство или нет.
Если верное, то число является корнем уравнения, в противном случае – нет.
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнения, в которых есть только неизвестные в первой степени и числа.
2(3x – 5) = x – 3
Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки:
6x – 10 = x – 3
6x – x = 10 – 3
5x = 7
Линейное уравнение имеет вид:
ax = b, где a = 5 и b = 7.
Тренировочные задания.
Задание 1. Какое значение переменной удовлетворяет уравнению 4x – 2 = 14?
Варианты ответа:
x = 0
x = 2,5
x = 4
x = 0,1
Решение:
Для того чтобы определить, какое из значений удовлетворяет уравнению, нужно подставить вместо переменной соответствующее значение и проверить, получается ли истинное равенство. Соответственно, при истинности, значение переменной будет удовлетворять условию.
При x = 0 получаем: 4 · 0 – 2 = 14
–2 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0 не удовлетворяет решению уравнения.
При x = 2,5 получаем: 4 · 2,5 – 2 = 14
3 = 14 – ложь. Следовательно, x = 2,5 не удовлетворяет решению уравнения.
При x = 4 получаем: 4 · 4 – 2 = 14
14 = 14 – истина. Следовательно, x = 4 удовлетворяет решению уравнения.
При x = 0,1 получаем: 4 · 0,1 – 2 = 14
–1,6 = 14 – ложь. Следовательно, x = 0,1 не удовлетворяет решению уравнения.
Ответ: x = 4
Задание 2. Уравнение 2(2x – 3) = 2x + 16 надо привести к стандартному виду.
Варианты ответа:
4x + 3 = 2x + 16
2x – 19 = 3x
4x = 22
2x = 22
Решение:
Для того чтобы определить, какое из значений является верным приведением уравнения к стандартному виду, нужно просто привести уравнение к стандартному виду.
2(2x – 3) = 2x + 16 – раскроем скобки, умножив число на разность;
4x – 6 = 2x + 16 – преобразуем уравнение, перенеся слагаемые, содержащие переменные в левую часть уравнения, а числа в правую, меняя при этом знак на противоположный;
4x – 2x = 16 – 6 – упростим выражение, приведя подобные слагаемые;
2x = 22 – полученное уравнение приведено к стандартному виду ax = b, где a = 1, b = 22
Ответ: 2x = 22