Урок 43. Наибольший общий делитель (НОД)Конспект урока
Математика
5 класс
Урок № 43
Наибольший общий делитель (НОД)
Перечень рассматриваемых вопросов:
– делители числа;
– кратные числа;
– разложение на простые множители;
– НОД.
Тезаурус
Простое число – это натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.
Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Начнём наше занятие словами известной поговорки: «Учить – ум точить». Сегодня мы будем оттачивать умение находить общие делители сразу нескольких чисел.
Итак, рассмотрим два числа: 12 и 15. Выпишем все делители этих чисел. 12 – делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
15 – делители 1, 3, 5, 15.
Найдём общие делители этих чисел – это числа 1 и 3. Введём новое понятие – «наибольший общий делитель», который кратко обозначают НОД.
У этих чисел наибольший общий делитель равен 3.
Записывается – НОД (12; 15) = 3. НОД чисел двенадцать и пятнадцать равен трём.
Правило нахождения НОД:
- разложим числа на простые множители;
- подчеркнём одинаковые множители этих чисел;
- перемножим общие множители одного из чисел, это и будет НОД заданных чисел.
Найдём НОД чисел 15 и 16.
НОД (15; 16) = ?
Разложим числа на простые множители.
Видно, что из всех множителей – общий лишь 1.
Такие числа, которые не имеют общих простых делителей, называются взаимно простыми числами. Любые два простых числа или два соседних натуральных числа будут взаимно простыми.
Найдём НОД (10; 100).
Разложим числа на простые множители.
Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.
Умножим их и получим наибольший общий делитель: НОД (10; 100) = 2 · 5 = 10.
Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10 и НОД тоже равен 10. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОД этих чисел равен меньшему из них.
Найдём наибольший общий делитель трёх чисел.
НОД (42; 70; 98) = ?
Разложим числа на простые множители:
Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 7.
Умножим их и получим наибольший общий делитель: НОД (42; 70; 98) = 2 · 7 = 14
Некоторые задачи можно решить при помощи НОД проще, чем каким-либо другим способом.
Например, решим такую задачу.
Для участия в соревнованиях нужно разделить 35 детей в возрасте 14 лет и 21 ребёнка в возрасте 12 лет на команды так, чтобы они состояли только из одновозрастных спортсменов. Какое наибольшее число участников одного возраста может быть в команде?
Решение: чтобы решить эту задачу нужно найти НОД (21; 35).
Разложим числа на простые множители:
Следовательно, НОД (21; 35) = 7 – это и будет наибольшим числом участников в команде.
Ответ: 7 человек.
Тренировочные задания
№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОД (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОД = 7?
Варианты ответов: 1, 2, 3.
Решение: разложим на множители оба числа, при этом вместо пропуска подставим по порядку все цифры. А далее найдём подходящий НОД этих чисел, равный 7. Получим следующее разложение:
Из всех разложений на множители под НОД (7; 2) = 7 подходит только число 21.
Ответ: искомая цифра – 1.
№ 2. В продуктовых наборах должно быть одинаковое количество груш и апельсинов. Всего приготовили 120 груш и 126 апельсинов. В какое наибольшее количество наборов можно разложить их поровну?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОД заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наибольшим количеством наборов при равном разложении фруктов.
НОД (120; 126) = 2 · 3 = 6
Ответ: 6 наборов.