Урок 44. Сочетания

Конспект

Сочетанием из n элементов по k (k ≤ n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в любом порядке из данных n элементов.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают так: .

Чтобы вычислить число сочетаний нужно воспользоваться формулой:

Запомните, при сочетаниях порядок следования элементов не важен.

Рассмотрим пример сочетаний.

Имеются семена 5 видов цветов. Для клумбы нужны 3 вида.
Рассмотрим все варианты выбора трёх видов цветов для клумбы.

Мы видим все возможные сочетания трёх видов цветов из пяти возможных.

Рассчитаем их количество через формулу .

Решим несколько задач.

Задача 1
В коллективе из 30 человек нужно выбрать трёх для выполнения важного поручения. Сколькими способами это можно сделать?

Решение
Поскольку порядок выбранных людей не важен, то речь идёт о сочетаниях. Найдём число возможных сочетаний:

Ответ: 4060 способов.

Задача 2
Для праздничного чаепития нужно купить 3 разных торта и печенье четырёх видов. Сколько возможно вариантов выбора печенья и тортов, если в магазине продаются 10 видов тортов и 12 видов печений?

Решение
Количество вариантов выбора тортов равно количеству сочетаний 3 из 10:

Для каждого набора тортов найдем количество вариантов выбора печенья:

Чтобы найти общее количество вариантов выбора тортов и печенья нужно перемножить получившиеся значения:
120 • 495 = 59 400.

Ответ: 59 400 вариантов.

Задача 3
Для праздничного концерта юная пианистка может выбрать два произведения из своего репертуара 210 способами. Сколько произведений в репертуаре этой пианистки.

Решение
Пусть в репертуаре пианистки n произведений. Тогда осуществить выбор двух произведений она может  способами.

Составим и решим уравнение.

Значит, в репертуаре юной пианистки 21 произведение.

Ответ: 21 произведение.