Урок 45. Обобщение и систематизация знаний по теме «Делимость натуральных чисел»

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок №45

Обобщение и систематизация знаний по теме «Делимость натуральных чисел»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– делители числа;

– кратные числа;

– признаки делимости;

– разложение на простые множители;

– НОК;

– НОД;

– свойства делимости;

– чётные и нечётные числа;

– признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10;

– простые и составные числа.

Тезаурус

Деление – действие, обратное умножению.

Умножение– это арифметическое действие, в котором первое число повторяется в качестве слагаемого столько раз, сколько показывает второе число.

Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Простое число– это натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.

Если представить любое составное число в виде произведения простых множителей, то это действие в математике называют разложение на простые множители.

Если натуральное число a можно разделить на натуральное число b, то это число b будет делителем натурального числа а.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей

Чётное число – это число, делящееся на два.

Нечётное число – это число, не делящееся на два.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений./ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017, 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. //

П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009, 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. //

И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014, 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, простые и составные числа – все эти понятия объединяет общая тема «Делимость натуральных чисел».

Сегодня мы вспомним, что такое делимость и как её применять при решении задач.

Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральноечислобез остатка.

Например, найдём кратные числа 15 – это числа 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, . . .

Теперь вспомним свойства делимости. Рассмотрим четыре из них.

Свойство 1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Например, так как 35делится на5, значит,357делится на5.

Свойство 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

Например, 45 : 9, а 9 : 3, следовательно, 45 : 3.

Свойство 3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.

Например, 100 делится на 2 и 26 делится на 2, значит, (100 + 26) : 2 и (100 — 26) : 2.

Свойство4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

Например, 100 делится на 2, а 25 не делится на 2, следовательно, (100 + 25) не делится на 2 и (100 — 25) не делится 2.

О том, делятся ли числа, можно судить и по признакам делимости. Вспомним их.

Признак делимости на десять. Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на десять.

Например, 100 делится на 10, а 105 не делится на 10.

Вспомним признак делимости на три.

Если сумма цифр делится на три, то и само число делится на три.

Например, 36 делится на 3, так как 3 + 6 = 9, а 9 делится на 3; 37 не делится на 3, так как 3 + 7 = 10, а 10 не делится на 3.

Вспомним признак делимости на девять.

Если сумма цифр делится на девять, то и само число делится на девять.

Например, 603 делится на 9, так как 6 + 0 + 3 = 9, а 9 делится на 9; 604 не делится на 9, так как 6 + 0 + 4 = 10, а 10 не делится на 9.

Вспомним признак делимости на два.

Если число оканчивается одной из цифр – ноль, два, четыре, шесть, восемь, то оно делится на два.

Например, 44 делится на 2; а 45 не делится на 2.

Число, делящееся на два, называют чётным.

Число, не делящееся на два, называют нечётным.

Вспомним признак делимости на пять.

Если число оканчивается одной из цифр 0 или пять, то оно делится на пять.

Например, 55 делится на 5, а 56 не делится на 5.

Говоря о делимости, нельзя не вспомнить понятие простого и составного числа.

Простые числа – это такие натуральные числа, которые больше единицы и делятся только на единицу и само на себя. Например, 2, 3, 5, …

Составные числа – это непростые натуральные числа больше единицы. Например, 4, 6, 8, …

Ну, а единица это и не простое, и не составное число.

Далее поговорим о нахождении НОД и НОК.

Наибольший общий делитель можно найти, используя следующее правило:

1) нужно разложить числа на простые множители;

2) подчеркнуть одинаковые множители этих чисел;

3) перемножить общие множители одного из чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Записывается так: НОК(m; n)

НОК (12; 15) = 60

Вспомним правило нахождения НОК:

1) нужно разложить числа на простые множители;

2) подчеркнуть одинаковые множители этих чисел;

3) перемножить общие множители одного из чисел;

4) добавить произведение всех остальных множителей от каждого числа.

Например, НОК (2; 5) = 10.

Решим задачу при помощи НОК.

Две маршрутки, двигаясь поразным маршрутам, одновременно отправляются от одной остановки. У первой маршрутки время движения до этой же остановки составляет 45 минут, а у второй – 1 час 10 минут. Через скольковремени маршрутки снова встретятся на этой остановке?

Решение: для начала переведём время второй маршрутки в минуты: 1 час 10 минут = 70 минут. Теперь, чтобы решить задачу, нужно найти НОК (45; 70).

Разложим числа на множители:

Общим множителем является только число 5. Следовательно, НОК (45; 70) = 5 · 3 ·3 · 2 · 7 = 5 · 126 = 630 минут.

Это будет время, через которое встретятся маршрутки на той же остановке.

Ответ: 630 минут.

Тренировочные задания

№ 1. Найдите НОК (24;48;100).

Решение: разложим на множители все числа. Далее подчеркнём общие множители во всех трёх числах. А затем подчеркнём общие множители в числах 24 и 48. Затем перемножим общие множители трёх и двух чисел и оставшиеся множители от чисел 48 и 100.

Ответ: 1200.

№ 2. Найдите НОД (15;25;75).

Решение: разложим на множители все числа. Далее подчеркнём общие множители во всех трёх числах. Это число и будет НОД трёх чисел.

НОД (15;25;75) = 5

Ответ: 5.