Урок 45. Тригонометрические уравнения

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №45. Тригонометрические уравнения

Вопросы по теме:

• Формирование системы представлений о способе решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным, дробно-рациональным, алгебраическим степени выше второй методом замены переменной;
• Формирование умений решать методом замены переменной тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, дробно-рациональным, алгебраическим степени выше второй;
• метод замены переменной в тригонометрических уравнениях.

Глоссарий по теме:

Теорема. Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. 2014, 712 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились решать простейшие тригонометрические уравнения, а именно, уравнения вида . Решение таких уравнений необходимо для того чтобы успешно решать более сложные уравнения. Кроме того, мы уже узнали, как решаются и некоторые более сложные тригонометрические уравнения. На этом уроке мы продолжим изучение тригонометрических уравнений. Мы будем решать уравнения, которые могут быть решены методом замены переменной.

1. В основе метода замены переменной лежит следующая теорема.

Теорема

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Для того чтобы можно было применить эту теорему, уравнение вида нужно преобразовать к виду . Однако, это не всегда возможно.

Вообще, если тригонометрическое уравнение включает в себя синус и косинус одного и того же аргумента, и одна из них содержится в уравнении в четной степени, а другая в нечетной, то в качестве новой переменной целесообразно рассматривать ту переменную, которая в уравнение входит в нечетной степени.

Например, в уравнении входит в первой и в третьей степени, а — во второй. Поэтому в качестве новой переменной будем рассматривать

Тогда и уравнение примет вид:

или

.

Оно после замены сводится к алгебраическому третьей степени

Оно имеет единственный корень t=1.

Поэтому

2. Теперь рассмотрим более сложные уравнения, которые решаются с помощью замены переменной.

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

1 способ.

Так как и , то можем записать исходное уравнение таким образом: . Теперь мы получили уравнение, которое включает в себя только одну тригонометрическую функцию Но получающееся после замены уравнение оказывается достаточно сложным, иррациональным. Поэтому рассмотрим другой, более простой способ решения этого уравнения.

2 способ

Возведем обе части равенства в квадрат. Для соблюдения равносильности будем рассматривать только те значения переменной х, при которой (*).

. Раскроем скобки в правой части уравнения и получим:

Так как , то получаем:

или

.

Решая это уравнение, мы можем ввести новую переменную :

t(3t+4)=0

, .

С учетом (*) получаем: .

Ответ: .

Пример 6

Решение:

Пусть , ,

тогда вспомогательное уравнение: , или .

, или

, , .

Ответ: .

Решение тригонометрического уравнения методом замены переменной.

Задание 6.

Решите уравнение:

Решение:

Введем новую переменную .

Вспомогательное уравнение: .

Один из корней получившегося уравнения t=1.

Получаем: , . Так как , то остается только два значения: , то есть .

Получаем ответ:

.

Ответ:

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1.

Рассмотрим уравнение . Приведем это уравнение к виду . Для этого введем в качестве функции g(x) рассмотрим функцию . Тогда исходное уравнение примет вид:

.

После того как мы представили уравнение в таком виде, можно ввести новую переменную: .

Тогда вспомогательное уравнение будет выглядеть так:

Пример 2.

Решим уравнение

Решение:

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой выражение, которое зависит от , поэтому в качестве новой переменной мы можем выбрать . После введения новой переменной мы получим уравнение:

Решим его:

то есть . Первое из полученных простейших уравнений решений не имеет. Решим второе уравнение: .

Решение этого простейшего уравнения имеет вид .

То есть .

Ответ: .

Пример 3.

Для того чтобы ввести новую переменную, вспомним, что . Поэтому запишем это уравнение в виде:

Преобразуем уравнение:

Или

Введем новую переменную: и запишем вспомогательное уравнение.

Решением этого уравнения являются числа: .

Поэтому

Решим их:

1)

2)

Ответ: