Урок 46. Занимательные задачи по теме «Делимость натуральных чисел»

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок №46

Занимательные задачи по теме

«Делимость натуральных чисел»

Перечень рассматриваемых вопросов:

–делители числа;

–кратные числа;

–признаки делимости;

–НОД;

–чётные и нечётные числа;

– признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10;

–простые и составные числа.

Тезаурус

Простое число– это натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.

Составные числа – это непростые натуральные числа больше 1.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.

Чётное число – число, делящееся на два.

Нечётное число – это число, не делящееся на два.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Умножение – моё мучение, а деление – беда», – так говорили на Руси в давние времена. Ведь в те далёкие времена не было определённого алгоритма выполнения этих арифметических действий. Но в современном мире умножение и деление – это одни из самых распространённых арифметических операций, которые не должны вызывать сложностей, так как существует определённый способ их выполнения.

Сегодня мы поговорим о том, как зарождалась в математике операция деления и как развивались остальные понятия, связанные с делимостью чисел.

Одним из понятий, связанных с делимостью, является понятие о простых числах, так как они являются множителями любого составного числа.

Вопрос, как много простых чисел, как они распределены среди натуральных чисел, и многие другие тайны пытались раскрыть учёные древности.

Так, в III веке до нашей эры Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, а Эратосфен во II веке до нашей эры представил алгоритм нахождения простых чисел, названный решетом Эратосфена.

Позднее Леонард Эйлер в XVIII веке вывел формулу нахождения простых чисел, которая работала при подстановке вместо n чисел от 1 до 40.

Р = n2 – n + 41 (при n от 1 до 40)

Начиная с сорок первого числа, получалось составное число.

Стоит отметить, что общая формула простых чисел до сих пор не найдена.

Дальнейшими работами в этой области занимался русский математик Пафнутий Львович Чебышёв, который доказал, что между числами n и 2n (при n> 1) имеется по крайней мере одно простое число.

В своё время всё тот же Леонард Эйлер сформулировал проблему, которая не решена до сих пор.

Суть этой проблемы заключается в том, что нужно доказать, что каждое чётное число, начиная с четырёх, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Другой известный математик, Христиан Гольдбах, подобную проблему сформулировал для нечётных чисел.

Суть этой проблемы заключается в том, что нужно доказать, что каждое нечётное число больше пяти можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эту проблему в общем виде тоже не решили до сих пор, хотя частный случай для достаточно больших чисел доказал Иван Матвеевич Виноградов в 1937 году.

Зная чётные и нечётные числа, можно решать некоторые занимательные задачи.

Например, такую: можно ли разрезать отрезок длиной 20 сантиметров семью отрезками по 1 и 5 сантиметров?

Для решения этой задачи рассмотрим всевозможные вариации суммы длин двух отрезков.

Длина отрезков будет выражаться чётным числом также, как если сложить шесть отрезков.

1 + 1 = 2 см

5 + 5 = 10 см

1 + 5 = 6 см

Поэтому, если прибавить седьмой отрезок, то длина отрезка будет выражаться нечётным числом. Следовательно, отрезок в 20 см нельзя разрезать на семь частей по 1 и 5 см.

Рассмотрим известную задачу про конверт. Смысл её заключается в том, чтобы нарисовать открытый и запечатанный конверт, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды.

Если открытый конверт нарисовать могут многие, то закрытый не получается ни у кого, разберёмся – почему так происходит. Оказывается, есть определённые закономерности в выполнении подобных заданий. Если из всех точек, назовём их «вершинами», выходит чётное число линий, то «одним росчерком», проводя по каждой стороне только один раз, можно нарисовать рисунок. Движение можно начинать где угодно.

Если в рисунке только две нечётные вершины, то рисунок нарисовать можно, если движение начать с одной из этих нечётных вершин и закончить во второй из них.

И наконец, рисунок, в котором более двух нечётных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». В закрытом конверте таких вершин четыре. Поэтому его невозможно построить.

Тренировочные задания

№ 1. Человек был два дня в пути. В первый день он прошёл 25км, а во второй 40км, при этом его скорость была одинаковой, и каждый день он проходил за время, выраженное натуральном числом. С какой скоростью шёл человек, если она была наибольшей изудовлетворяющих условию задачи.

Решение: для решения этой задачи достаточно найти НОД(25;40). Это и будет максимальная скорость человека.

НОД (25; 40) = 5 км/ч.

Ответ: 5км/ч.

№ 2. На лугу паслись овцы, козы и коровы – всего 23 животных. Овец было в 12 раз больше, чем коров. Сколько на лугу коз?

Решение: при решении этой задачи используем следующие рассуждения. Представим, что корова одна, тогда овец –12, а коз вычислим как: 23 – (1+12)= 10.

Если представим, что коровы 2, тогда овец – 24, что соответствует большему количеству животных, чем по условию задачи. Значит, искомый ответ – 10 коз.

Ответ:10 коз.