Урок 46. Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №46. Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) уравнения с двумя переменными с параметрами;

2) уравнения с двумя переменными с параметрами;

3) системы с двумя переменными с параметрами.

Глоссарий по теме урока

Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными.

Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Параметр (от греч рarametron – отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенной элемент из множества элементов того же рода.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже встречались с уравнениями и неравенствами с параметрами. Наша задача обобщить изученный материал.

Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел(х;у), при подстановке которой в уравнение f(x;y)=0 оно обращается в верное равенство.

Уравнение х2+у2=1 имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел, лежащая на окружности, R=1.

Изменяем уравнение: х2+у2=а. Это уравнение с двумя переменными и с параметром а.

Решение:

1. При а=0 одно решение х=0, у=0.
2. При а<0 нет решений.
3. При а>0 бесконечно много решений.

Если поставить знак <, то получим неравенство х2+у2<а. Решением неравенства будет часть плоскости внутри окружности.

Из рассмотренных примеров видно, что графический способ гораздо понятнее. Вспомните, как выглядит уравнение каждой кривой: прямой, окружности, гиперболы, параболы

Ах+Ву+С=0 (А2+В2≠0) есть уравнение прямой
х2+у2=R2 (R ≠ 0) есть уравнение окружности
ху=а (а ≠ 0) есть уравнение гиперболы
у=ах2+bх+с (а ≠ 0) есть уравнение параболы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решение уравнений с параметрами возможно аналитически и графически. Решение уравнений графически позволяет наглядно представить решение.

Задание 1. Сколько решений имеет система?

Построим графики уравнений.

Из рисунка видно, при любом значении а, система будет иметь 2 решения.

Задание 2: Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение?

|х2-2х-3|=а

Решение

1. При, а ≥ 0: |х2-2х-3|=а ↔ х2-2х-3=а или х2-2х-3=-а
2. Все ли корни подходят? Чтобы это выяснить, построим график функции, а =|х2-2х-3|.
3. Количество корней можно увидеть на графике:

1. Ответ: Если а <0, корней нет; если а = 0 и а> 4, 2 корня; если 0 <а <4, – 4 корня; если а = 4, – три корня