Урок 5. Метод преобразований решения задачКонспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №5. Метод преобразований решения задач
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- симметрия относительно произвольной плоскости;
- понятие «метод движений» в пространстве.
Глоссарий по теме
Метод геометрических преобразований
Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.
Метод параллельного переноса
Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.
Метод симметрии
Применение симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой точки/оси/плоскости.
Метод поворота
Идея метода поворота состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.
Дополнительная литература:
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /– М.: Дрофа, 2009. – 235,: ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196. Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Метод геометрических преобразований
Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.
1.1. Метод параллельного переноса.
Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.
Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных.
1.2. Метод симметрии.
Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.
Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи.
1.3. Метод поворота.
Поворотом также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.
2. Решение задач методом преобразований
2.1. Симметрия относительно произвольной плоскости
Постановка задачи. Найти координаты точки 
, симметричной точке 
, относительно плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
План решения.
1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку 
. Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е. 
.
Поэтому уравнение прямой будет: 
2. Находим точку 
пересечения прямой 
и плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Для этого обозначим 
и выразим x, y, z:
.
Подставим x, y, z в уравнение плоскости:
найдем значение t.
Затем найдем x, y, z. Найденные координаты будут являться координатами точки 
.
3. Точка 
является серединой отрезка 
, где точка
является точкой симметричной точке 
, поэтому
, 
, 
.
Задача 1. Найти точку M’, симметричную точке M относительно плоскости.
M(1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0.
Решение:
Уравнение прямой, которая проходит через точку M перпендикулярно заданной плоскости будет:
.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
,
,
(1 + t) + 4(1 + 4t) + 3(1 + 3t) + 5 = 0,
t = -0,5.
Откуда 
– точка пересечения прямой и плоскости. 
является серединой отрезка MM’, поэтому
, 
, 
, 
2.2. Задача 2
Даны плоскость α: x + 2y – z – 2 = 0 и две точки А(1, -2, -3) и В (-1, -1, -2). Найдите на этой плоскости точку С такую, чтобы ломаная АСВ имела наименьшую длину.
Решение:
Данная плоскость пересекает оси координат в точках
M (2, 0, 0) (ось OX)
N (0, 1, 0) (ось OY)
K (0, 0, 2) (ось OZ)
Две заданные точки лежат по одну сторону от данной плоскости.
Если бы две точки лежали по разные стороны от плоскости α, то очевидно, искомой точкой С была бы точка пересечения отрезка, концами которого являются данные точки, с плоскостью α, а ломаная выродилась бы в отрезок.
Сведем нашу задачу к описанной ситуации.
Для этого найдем точку, симметричную любой из заданных относительно данной плоскости α.
Например, точке А.
Используя решение задачи 1, получим следующую последовательность действий.
Уравнение прямой, которая проходит через точку А перпендикулярно заданной плоскости будет:
.
Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.
.
.
(1 + t) + 2(2t – 2) — (-t– 2) – 2 = 0
t = 0,5
Откуда точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости α и проходящей через точку А, с плоскость α 
. Точка пересечения прямой и плоскости. 
является серединой отрезка АА’, поэтому
, 
, 
, 
A'(2; 0; -4)
Теперь найдем точку пересечения отрезка A’B с плоскостью α.
Прямая A’B имеет направляющий вектор 
.
Уравнение прямой A’B:
.
Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.
.
.
3t-1+2(t-2)-(-2t-2)-2=0
7t-5=0
.
Таким образом, координаты искомой точки 
.
Ответ: 
.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Напишите уравнение образа плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.
Решение:
Найдем координаты двух точек плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0, лежащих в плоскости Oxz. Для этого найдем точки плоскости, принадлежащие осям координат.
OX: z = y = 0, x = 2,5 A(2,5; 0; 0)
OZ: x = y = 0, z = -5 B(0; 0; -5).
Эти точки принадлежат и образу плоскости 2x + 3y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.
Теперь найдем точку данной плоскости, принадлежащую оси ординат.
OY: z = x = 0, y = 2,5 С(0; 1; 0).
Точка, симметричная точке С относительно плоскости Oxz, имеет координаты С'(0; -1; 0).
Теперь напишем уравнение плоскости через три полученные точки.
Оно имеет вид:
— 5x + 12.5y + 2.5z + 12.5 = 0
2x — 5y — z — 5 = 0
Ответ: 2x — 5y — z — 5 = 0