Урок 53. Решение комбинированных задач

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №53. Решение комбинированных задач.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• решения комбинированных задач, которые можно решить опираясь на систему математических понятий, фактов и методов курса алгебры и начал анализа 10 класса;
• обобщение и систематизация способов решения комбинированных задач с опорой на систему математических понятий, фактов и методов курса алгебры и начал анализа 10 класса;
• Применение схем поиска решения комбинированных задач.

Глоссарий по теме

Комбинированные задачи – задачи, при решении которых необходимо применять знания из различных областей математики.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы продолжим рассматривать примеры решения задач, которые могут быть включены в содержание итоговой аттестации. Особое внимание обратим на решение комбинированных задач.

Пример 1

Установите соответствие между элементами первого и второго столбца:

Объяснение новой темы

Задачи, при решении которых необходимо применять знания из различных областей математики называются комбинированными. Решение комбинированной задачи начинаем с внешнего неравенства (уравнения) сохранив все этапы его решения. Затем на каждом этапе решаем внутреннее неравенство или уравнение. Заметим, что названия внешнее и внутреннее условны.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решите неравенство

Решение:

Найдем значения переменной, при которых неравенство имеет смысл.

Первое неравенство верно при всех действительных значениях переменной кроме – 1. Четвертое и пятое неравенства верны при любых действительных значениях переменной.

Третье неравенство верно при x< 0.

Второе неравенство верно при

Таким образом, неравенство имеет смысл при всех действительных значениях переменной меньше нуля кроме – 1,5; – 1; — 0,5.

Преобразуем правую часть неравенства:

Рассмотрим два случая:

В этом случае основание логарифма меньше 1 и наше неравенство равносильно неравенству .

Решим это неравенство методом замены переменной.

Новая переменная

, учитывая, что t> 0, получим

Возвращаясь к первоначальной переменной, имеем

В этом случае основание логарифма больше 1 и наше неравенство равносильно неравенству , которое решается аналогично рассмотренному и в результате получаем

Учитывая все область определения неравенства и полученные результаты, получим

Ответ:

При решении этой задачи нам необходимо было решить логарифмическое неравенство с неопределенным основанием, неравенство, содержащее переменную под знаком модуля и показательное неравенство методом замены переменной.

Пример 2.

Решите неравенство

Неравенство имеет смысл при

Введем новую переменную неравенство

Получим неравенство

Правая часть неравенства может принимать как отрицательные, так и положительные значения или значение ноль. Рассмотрим два случая.

1. . Решим неравенство методом возведения в квадрат.

Учитывая, что получим . Не будем возвращаться к первоначальной переменной сейчас, вернемся к ней на последнем этапе.

1. В этом случае наше неравенство верно при всех указанных значениях переменной, так как неотрицательное число больше отрицательного.

Таким образом, . Теперь вернемся к первоначальной переменной

Учитывая область определения неравенства и все полученные результаты получим

Ответ:

Пример 3.

Решите уравнение

Область определения уравнения: x – любое действительное число

Введем новую переменную ,

Получим уравнение

Преобразуем уравнение

Решаем уравнение

Учитывая, что t>0, получим

Возвращаемся к первоначальной переменной

Решаем уравнение

Ответ: