Урок 6. Множества и элементы логики

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок. №6 Множества и элементы логики

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) математическая логика;

2) множества;

2) числовые множества;

3) метод математической индукции.

Глоссарий по теме

Математическая логика ‑ раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений.

Множество — совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое
Элемент множества — объект называется элементом множества, если он обладает характеристическим свойствами этого множества.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. ‑ М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. ‑ М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Математическая логика

Логика ‑ раздел математики, который изучает доказуемость утверждений. Верные и неверные предложения в математике называют высказываниями. При этом вместо слов «верное» и «неверное» говорят истинное и ложное.

Основные операции логики: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция.

Одним из способов решения логических задач является контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Множество. Действия над множествами.

Множество является первичным неопределяемым понятием в математике. Объекты множества, называются его элементами. Множества обозначаются заглавными буквами, а элементы строчными.

— пустое множество;

А∩В — пересечение множеств;

АU В ‑ объединение множеств;

А∩В = т.е. нет общих элементов;

‑ дополнение;

Способы задания множеств. 
1. Перечислением  его элементов
2. Описание свойств 
Характеристическое свойство ‑ это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий множеству. 

Над множествами, как и над числами, выполняют действия. Круги Эйлера ‑ хорошая иллюстрация действий.

Особенно важны числовые множества.

N ‑ множество натуральных чисел;

Z ‑ множество целых чисел;

Q ‑ множество рациональных чисел;

R ‑ множество действительных чисел.

Математическая индукция

Индукцией называется переход от частных утверждений к общим.

Одним из важных методов доказательств является метод математической индукции. Большинство формул, относящихся к натуральным числам n, доказываются методом математической индукции. Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если оно справедливо для n = 1 из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k следует его справедливость для n = k+1.

Доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

1. Проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно для n = 1);
2. Предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k;
3. Доказывается справедливость утверждения для числа nk+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Докажите следующее утвердение: Если n ‑ натуральное число, то число четное.

При n=1 наше утверждение истинно:  четное число.

Предположим, что  — четное число.

Докажем:

— четное. (так как сумма двух четных чисел четное число)

Значит,  четно при всех натуральных значениях n.

2.Задача. Каждый ученик в группе изучает английский или немецкий язык. Английский изучают 25 человек, немецкий 27 человек, а тот и другой 18 человек. Сколько учеников в группе?

Решение: А- изучают английский, В ‑ изучают немецкий, А∩В ‑ изучают английский и немецкий. 25+27-18=32 ученика в группе.