Урок 6. Прямоугольник. Ромб. КвадратПонятие прямоугольника всем знакомо с начальной школы. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:
— противоположные стороны равны и параллельны;
— противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°;
— особо можно выделить, что все углы равны;
— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У прямоугольника есть особое свойство: диагонали прямоугольника равны.
| Элементы | Свойства от параллелограмма | Особое свойство |
|---|---|---|
| Стороны | Противоположные стороны равны и параллельны | |
| Углы | Противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180° | Все углы равны |
| Диагонали | Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам | Диагонали равны |
Для доказательства рассмотрим прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD.
Прямоугольные треугольники ABD и DCA равны по двум катетам, т.к. AD – общий катет, AB = CD. Следовательно, AC = BD.
Для того, чтобы определить, является ли данный параллелограмм прямоугольником нужен признак прямоугольника. Он вытекает из особого свойства прямоугольника: если в паралеллограмме диагонали равны, то этот паралеллограмм – прямоугольник.
Рассмотрим параллелограмм ABCD с равными диагоналями AC и BD.
ABD и DCA равны по трем сторонам: AC = BD (по условию), AB = CD (свойство параллелограмма). AD – общая сторона. Следовательно, ∠BAD = ∠CDA, но ∠BAD + ∠CDA = 180° и ∠BAD = ∠BCD, ∠CDA = ∠CDA, поэтому ∠BAD = ∠BCD = ∠CDA = ∠CDA = 90° значит, ABCD – прямоугольник.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом, он обладает всеми его свойствами, а из определения ромба следует, что все стороны равны.
Ромб обладает и особым свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
| Элементы | Свойства от параллелограмма | Особое свойство |
|---|---|---|
| Стороны | Противоположные стороны равны и параллельны | Все стороны равны |
| Углы | Противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180° | |
| Диагонали | Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам | Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам |
Для доказательства особого свойства рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD.
AB = AD (ромб). Треугольник ABD – равнобедренный, AO – медиана, а значит высота и биссектриса этого треугольника. Следовательно, AC ⊥ BD, AC – биссектриса ∠BAD.
Признаки ромба получаются из особого свойства ромба:
— если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом
— если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то он является ромбом.
Еще один знакомый с начальной школы четырёхугольник – это квадрат. Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами.