Урок 8. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатахМетод координат позволяет изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств. Одним из основных понятий этого метода является понятие координат вектора.
Покажем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.
Рассмотрим прямоугольную систему координат и какую-нибудь точку М с координатами x и y. Чтобы определить числа x и y, проведём через точку М прямые, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через M1 и M2 точки пересечения этих прямых с осями Оx и Оy.
Число x – абсцисса точки М, равно отрезку ОМ1, если M1 – точка положительной полуоси: х = ОМ1. Если точка M1 – точка отрицательной полуоси, то х = –ОМ1. Если точка M1 совпадает с точкой О, то икс в этом случае равен нулю.
Аналогично определяется число y – ордината точки M2.
Докажем, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
Радиус-вектор точки М – это вектор, соединяющий начало координат и точку М.
(ОМ) ⃗= (ОМ1) ⃗+ (ОМ2) ⃗
Докажем следующие равенства
(ОМ1) ⃗= хi ⃗ и
Действительно, если х>0, то x = OM1, OM1 ↑↑ i ⃗ и справедливо равенство:
(ОМ1) ⃗= ОМ1 ∙ i ⃗= xi ⃗
Если x<0, то x = —OM1OM1 ↑↓ i ⃗ и справедливо следующее равенство:
(ОМ1) ⃗= —ОМ1 ∙ i ⃗= xi ⃗
Наконец, если х = 0, то (OM1) ⃗= 0 ⃗ и равенство в этом случает также справедливо: (ОМ1) ⃗= xi ⃗
Таким образом, в любом случае равенство справедливо.
Аналогично доказывается и второе равенство: (ОМ2) ⃗= хj ⃗
Следовательно, OM = OM1 + OM2 = xi ⃗+ xj ⃗
А это значит, что координаты радиус вектора OM равны соответствующим координатам точки M:
Пользуясь доказанным утверждением можно выразить координаты любого вектора через координаты его начала и конца.