Урок 83. Занимательные задачи по теме «Смешанные дроби»

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 83

Занимательные задачи по теме «Смешанные дроби»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– обыкновенная дробь;

– правильная дробь;

– неправильная дробь;

– смешанная дробь.

Тезаурус

Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.

Неправильные дроби – это дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя.

Смешанные дроби – это числа, содержащие натуральное число и правильную дробь.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.— М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика / Тематические тесты: 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Математике дóлжно учить в школе ещё с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни», – однажды сказал Лазар Карно. Но стоит добавить, что из потребностей человека и возникла математика. Сегодня мы рассмотрим, как это происходило.

Из старинных письменных источников, сохранившихся до наших дней, мы знаем некоторые сведения о математике Древнего Вавилона, Египта, Индии.

Например, около четырёх тысяч лет назад в Древнем Вавилоне с помощью деревянных палочек на мягкой глине изображали клинописью различные тексты, в том числе и математические.

Так, единицу, десять и одну вторую изображали такими знаками.

Торговля, как в то время, так и сейчас, тоже не обходилась без математики.

В Древнем Вавилоне использовались для этого такие единицы веса и денег, как:

1 талант = 60 мин;

1 мина = 60 шекелей.

Вот такую запись в этих единицах можно было встретить в Древнем Вавилоне:

На табличке представлена следующая запись:

2 таланта, 13 мин, 41 шекель.

Немного позднее эта запись стала читаться следующим образом: 2 единицы третьего разряда, 13 единиц второго разряда, 41 единица первого разряда. При этом стоит отметить, что разница между разрядами так и составляла шестьдесят единиц. Поэтому эту запись можно представить, как сумму числа два и дробей – тринадцать шестидесятых и сорок одна три тысячи шестисотая.

Теперь перенесёмся в Древний Египет. На практике при расчётах в Древнем Египте использовались дроби как с числителем, равным единице (например, одна вторая или одна восьмая), так и с другими числителями, которые появились немного позднее. Поэтому дробь пять восьмых выражали как сумму дробей одна вторая и одна восьмая.

Итак, несмотря на то что дроби появились в математических записях очень давно, без них невозможно представить и современную жизнь. Дроби используются в обозначении времени, в строительстве, в музыке.

Итак, на данном этапе изучения математики мы познакомились с обыкновенными дробями, рассмотрели их разновидности. Так, например, правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя. Неправильные дроби – это дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя. Смешанные дроби – это числа, содержащие натуральное число и правильную дробь.

Но сегодня нас интересуют не только виды дробей и исторические сведения о них, но и решение занимательных задач, связанных с этой темой. Решим одну из них.

Например, в найденных египетских папирусах есть такая задача. Количество и его четвёртая часть дают вместе пятнадцать. Найдите количество.

Для решения этой задачи примем количество за единицу. Тогда четвёртая часть количества – это дробь одна четвёртая. Теперь, исходя из условия задачи, сложим количество, т. е. единицу и его четвёртую часть, т. е. прибавим дробь одну четвёртую.

Решение. При решении этой задачи нужно понимать, что у каждой верёвки по два конца. По условию задачи мы имеем три целых верёвки, у которых по два конца, т. е. всего шесть концов, и ещё часть, у которой тоже будет два конца. Поэтому всего получается восемь концов. Это и есть искомый ответ.

Ответ: 8.

Решение задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяждыполтретьи гривны. Сколько надо дать за полдевятаждыполдевята аршина?

Решение.

На Руси использовались следующие названия смешанных дробей:

Эти названия становятся понятными, если внимательно прочитать дроби.

Соответственно, за покупку полдевятажды полдевята аршина отдали:

Тренировочные задания.

№ 1. 7 детей съедают 7 шоколадок за 7 дней. Сколько дней понадобится 12 ребятам для того, чтобы съесть 12 шоколадок?

Ответ: 7 дней.

№ 2. Мама разделила между дочерьми деньги следующим образом. Старшей дала половину от всей суммы и 10 руб., средней дала половину остатка и ещё 10 руб., а младшей дала половину остатка и последние 30 руб. Сколько денег дала мама дочерям?

Решение: начнём с младшей дочери. По условию она получила половину от остатка и последние 30 руб., т. е. 30 руб. это и есть половина от тех денег, что ей достались. Поэтому она получила:

30 · 2 = 60 руб.

Найдём, сколько денег получила средняя сестра, для этого рассмотрим условие задачи (средняя получила половину остатка и ещё 10 руб.), отсюда:

(60 + 10) · 2 = 140 руб.

Остаётся найти, сколько получила денег старшая дочь, для этого рассмотрим условие задачи (старшая получила половину суммы и ещё 10 руб.) и умножим результат на 2, тогда получится полная сумма денег, которые дала мама дочерям.

(140 + 10) · 2 = 300 руб.

Это и есть искомая сумма, которую получили дочери от мамы.

Ответ: 300 руб.