Урок 9. Взаимное расположение сферы и тел вращенияКонспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №9. Взаимное расположение сферы и тел вращения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- взаимное расположение сферы и цилиндра, конуса и усеченного конуса;
- цилиндр, конус, усеченный конус, описанный около сферы;
- касательная прямая к сфере и ее свойства;
- цилиндр, конус, усеченный конус, вписанный в сферу.
Глоссарий по теме
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.
Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности.
Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности.
Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной прямой):
Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы
проведенному к точке касания
Теорема (признак касательной прямой):
Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.
Теорема:
Отрезки касательных к сфере, проведенных из одной точки, равны.
Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.
Конусом, вписанным в сферу, называют такой конус, окружность оснований которого и вершина лежат на сфере.
Если конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около конуса.
Усеченным конусом, вписанным в сферу, называют такой усеченный конус, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если усеченный конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около усеченного конуса
Равносторонним называется цилиндр, высота которого равна диаметру основания
Равносторонним называется конус, образующая которого равна диаметру основания
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.
Дополнительная литература:
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.
Появляется рисунок
O и O1 — точки касания сферой оснований цилиндра
Окружность, проходящая через точки C, D и E — окружность, по которой сфера касается боковой поверхности цилиндра
Осевое сечение цилиндра с вписанной в него сферой — квадрат с вписанной в него окружностью
Определение
Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности.
O — точка касания сферой основания конуса
Окружность, проходящая через точки C, D и E — окружность, по которой сфера касается боковой поверхности конуса
Осевое сечение конуса с вписанной в него сферой — равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью
Определение
Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности.
O и O1 — точки касания сферой оснований усеченного конуса.
Окружность, проходящая через точки C, D и E — окружность, по которой сфера касается боковой поверхности усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса с вписанной в него сферой — равнобедренная трапеция с вписанной в нее окружностью
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПРЯМОЙ
d
R, d=OH
Прямая является секущей.
MC — хорда, OH
MC
d
R, d=OH
Прямая не имеет со сферой общих точек
OH
d=R
OH=R=d
Прямая касается сферы.
Определение
Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной прямой):
Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы
проведенному к точке касания
Теорема (признак касательной прямой):
Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.
Теорема:
Отрезки касательных к сфере, проведенных из одной точки, равны.
Определение
Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.
Появляется рисунок
Определение
Конусом, вписанным в сферу, называют такой конус, окружность оснований которого и вершина лежат на сфере Если конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около конуса
Определение
Усеченным конусом, вписанным в сферу, называют такой усеченный конус, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если усеченный конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около усеченного конуса
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Конус с углом 1200 при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R. Найдите Sсф, если:
1) r=3
2) r=4
3) r=2
Решение:
Сделаем чертеж: осевое сечение конуса с описанной сферой.
Ридиус сферы — это отрезок Осф А.
Так как 
АСВ=120°, то 
АСОсф=60°. ∆АСОсф равносторонний, поэтому Осф А=АС.
Из треугольника АСОкон найдем АС.
.
То есть R=
.
Площадь сферы равна S=4πR2=
Теперь найдем значение площади сферы для каждого значения r.
1) r=3
S=
2) r=4
S=
3) r=2
S=
2. Усеченный конус вписан в сферу. Найдите площадь шарового слоя, ограниченного основаниями конуса, если радиусы усеченного конуса равны 4 и 10, а образующая равна 10.
Решение:
Сделаем чертеж: осевое сечение усеченного конуса, на котором обозначены радиусы описанной сферы.
Площадь шарового слоя равна S=2πRh, где h — его высота, R — радиус сферы.
Фактически для ответа на вопрос задачи требуется найти высоту трапеции и радиус описанной около трапеции окружности.
По условия задачи:
АВ=10
ВС=2rв.о. =8
AD=2rн.о. =20.
Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника АВН.
Так как трапеция равнобедренная, то АН=6. Поэтому ВН=8.
Теперь нужно найти R. Радиус описанной около трапеции можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника ABD.
Найдем радиус описанной окружности, используя формул площади треугольника:
.
Для того чтобы использовать эти формулы, нам нужно найти длину стороны BD.
Из треугольника BDH длина BD=2
.
Тогда подставим все значения в равенство: 
.
.
Отсюда R=
.
Теперь найдем искомую площадь:
S=2πRh= 
.
Ответ: Sш.п. 
.