Урок 9. Основные свойства действительных чисел

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 9

Основные свойства действительных чисел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Иррациональные числа.
• Понятие действительного числа.
• Сравнение действительных чисел.
• Арифметические действия с действительными числами

Тезаурус:

Рациональным числом называют бесконечные десятичные периодические дроби.

Иррациональным числом называют бесконечные десятичные непериодические дроби.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.

На множестве действительных чисел выполняются законы:

• a + b = b + a переместительный закон сложения;
• (a + b) + c = a + (b + c) сочетательный закон сложения;
• a · b = b · a переместительный закон умножения;
• (a · b)· c = a · (b · c) сочетательный закон умножения;
• a · (b + c) = a · b + a · c распределительный закон.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Сумма, разность, произведение, частное двух действительных чисел есть действительное число. Кроме деления не ноль.

Делить на ноль нельзя!

Свойства действительных чисел

Для любых двух действительных чисел a и b:

1. имеет место только одно из соотношений: a = b; a < b; a > b;
2. если a < b, найдётся действительное число c такое, что a < c и c < b т. е. a < c < b;
3. если a < b и b < c, то a < c;

(свойство транзитивности)

1. если a < b, то a + c < b + c;
2. если a < b, и c – положительное число, то a · c < b · c;

Законы сложения и умножения

Для любых действительных чисел a, b, c справедливы равенства:

a + b = b + a переместительный закон сложения;

(a + b) + c = a + (b + c) сочетательный закон сложения;

a · b = b · a переместительный закон умножения;

(a · b) · c = a · (b · c) сочетательный закон умножения;

a · (b+ c) = a · b + a · c распределительный закон.

Свойства сложения:

a + 0 = a

a + (-a) = 0

a – b = a + (-b )

a · 1 = a

a · 0 = 0

-a = (-1) · a

a · (1 : a) = 1, a ≠ 0

a · (1 : b) = a : b, b ≠ 0

Для степени числа с натуральным показателем справедливы равенства:

am · an = am+n

(ab)n = an·bn

(am)n = amn

Действительные числа складывают, вычитают, умножают и делят нередко приближённо.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Сравните: 2,5 + 0,(3) и 1,5 + 0,333…

Решение:

применяем свойство: к обеим частям можно прибавить одно и то же число 0,(3) = 0,333…, значит, сравниваем 2,5 и 1,5. Так как 2,5 > 1,5 то 2,5 + 0,(3) > 1,5 + 0,333…

Ответ: 2,5 + 0,(3) > 1,5 + 0,333.

Задача 2.

Вычислите значение суммы, округлив до целых:

Решение: 4, 35 + 1,6543….≈ 5,9… или 6,00… Десятичные знаки отбрасываем, получаем сумму ≈ 6.

Ответ: 6.

Задача 3.

Сравните числа: a, b, c, если число c меньше a, но больше b.

Решение:

расположим числа на координатной прямой.

Очевидно: b < c < a.

Ответ: b < c < a.