Школьный этап «Сириус» Математика 7-11 класс 4 группа 2024/25

Задание 6: Сиамские коты составляли на выставке 1/15 от всех котов. Когда всех сиамских увели в отдельный павильон, то из оставшихся ровно каждый одиннадцатый оказался рыжим. На выставке было 30 сфинксов, и они составляли не менее 10% от всех котов. Сколько котов было на выставке? Сфинкс не может быть ни сиамским, ни рыжим.

Задание 7: Стоимость 5 бутылок лимонада, округлённая до ближайшего кратного 100 числа рублей, равна 1500 рублям. Стоимость 6 бутылок лимонада, округлённая до ближайшего кратного 100 числа рублей, равна 1800 рублям. Бутылка лимонада стоит целое число рублей. Сколько разных значений может принимать цена бутылки лимонада?
16 17 18 19 20 21

Задание 8: Сашин пароль состоит из 8 больших букв русского алфавита. В пароле Саши есть подряд идущие буквы, образующие слово ОБОЗ, и подряд идущие буквы, образующие слово ОЗНОБ. Сколько всего существует вариантов Сашиного пароля?

8 класс

Задание 1: В школьном чемпионате по баскетболу каждая игра состоит из 4 таймов по 18 минут, при этом в каждый момент на площадке должно быть ровно 5 игроков. Тренер делал замены так, что всего на площадке побывало 14 игроков и все, кроме капитана, находились на площадке равное время, а капитан вдвое больше. Сколько времени провёл на площадке капитан? Ответ выразите в минутах.

Задание 2: Траектория полёта самолёта всегда представляет собой отрезок прямой. От города А до города Б самолёт держал курс, отклоняясь от северного направления на 18∘ на восток. Из города Б он полетел в город В, отклоняясь от северного направления на 44∘ на запад. Известно, что расстояния от А до Б и от Б до В равны и составляют по 300 км. Заполните пропуски.Если самолёт летит напрямую из А в В, то направление его движения отклоняется от северного на _ к западу , к востоку

Задание 3: Все обитатели острова Неразмерность имеют особенность у них одна нога на один, на два или на три размера больше другой. Торговец приехал на остров, не зная об этой особенности, и привёз обычный товар. Покупатели же брали свои размеры (по 1 ботинку на каждую ногу). В итоге у торговца осталось четыре лишних башмака два 36‑го размера, по одному 37‑го размера и 45‑го размера. Найдите наименьшее количество пар обуви, которое мог привезти продавец.

Задание 4: Из большого треугольника вырезали 5 маленьких одинаковых треугольников площадью 2 см2 каждый так, как показано на рисунке.

Найдите площадь изначального треугольника. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Задание 5: Известно, что ни одно из чисел a, b, c не равно 0 и что a+b+c=0. Какие значения может принимать выражение

Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 6: В урне лежат красные и синие шары, причём красные составляют 20% от всех шаров. Какую часть синих шаров необходимо убрать, чтобы красные стали составлять 80% от всех шаров? Ответ выразите в процентах.

Задание 7: Иван расставил в таблицу 4×5 (строк меньше, чем стобцов) числа 1, 2 , 3, 4, 5 так, чтобы ни в каком столбце и ни в какой строке не встречались одинаковые числа. Затем он подсчитал сумму чисел в двух первых столбцах. Какие числа у него НЕ могли получиться? Выберите все подходящие варианты: 20 21 23 26 28 29

Задание 8: Найдите количество различных шестёрок различных целых чисел (a, b, c, d, e, f) таких, что

9 класс

Задание 1: В школьном чемпионате по баскетболу каждая игра состоит из 3 таймов по 18 минут, при этом в каждый момент на площадке должно быть ровно 5 игроков. Тренер в финальном матче делал замены так, что всего на площадке побывало 7 игроков и все, кроме капитана, находились на площадке равное время, а капитан втрое больше. Сколько времени провёл на площадке игрок, не являющийся капитаном? Ответ выразите в минутах.

Задание 2: Дана схема государства, на которой точками обозначены города (их всего 11), а линиями дороги.

Президент хочет достроить несколько дорог так, чтобы из каждого города выходило одинаковое количество дорог. Какое наименьшее количество дорог ему надо будет достроить?

Задание 3: Из проволоки сделаны два квадрата ACDE и EDFB. Точка M середина отрезка CD, а точка P находится на отрезке AB.

Муравей хочет дойти от точки P до точки M кратчайшим путём по проволоке. Возьмём за x расстояние AP. Выберите график зависимости расстояния, которое проползёт муравей, от x:

Задание 4: На Марсе принято давать детям двойные имена. Имена не должны повторяться и должны идти в алфавитном порядке. Так, например, имя Астра Вега допустимо, а Астра Астра или Вега Астра нет. В некоторой компании среди любых пяти людей есть хотя бы одна Астра, а среди любых четверых хотя бы одна Вега. Полных тёзок, совпадающих по обоим именам, нет. Какое наибольшее количество человек может быть в компании?

Задание 5: Дед Мороз с мешком конфет пришёл на праздник, где все дети были разного возраста. Каждый из детей, начиная со старшего, сделал следующее:
раздал из мешка по 2
конфеты каждому ребёнку младше себя;
взял одну конфету себе;
из своих конфет положил в мешок по одной штуке для каждого ребёнка старше себя.
Когда Дед Мороз уходил, из 100 конфет у него в мешке осталось только 9. Сколько детей было на празднике?

Задание 6: Артём записал на доске четырёхзначное число такое, что два старших и два младших разряда образуют последовательные двузначные числа (старшие разряды образуют меньшее из двузначных чисел). Известно, что записанное на доске число делится на 51. Какое именно число мог записать Артём? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 7: Пять квадратов со сторонами 10 см, 12 см, 12 см, 16 см и 12 см с первого по пятый расположены так, что вершина каждого следующего находится ровно в центре предыдущего.

Найдите площадь, которую закрывают квадраты.

Задание 8: Пусть числа a и b корни квадратного уравнения x2−mx+2=0, а числа a−1b и b+2a корни уравнения x2—px+q=0𝑥. Найдите q.

10 класс

Задание 1: Аня, Боря и Вова пошли в туристический поход, решив отказаться от телефонов и пользоваться только компасом. Ребятам было известно направление, но не расстояние до ближайшего кемпинга. Аня сказала: «Нам идти не меньше 10 км», Боря ответил: «Нет, думаю, что не больше 8 км», а Вова подытожил: «Нам осталось 8.5 км плюс‑минус 1 км». Впоследствии оказалось, что ровно двое были правы в тот момент. В каком промежутке лежит значение расстояния до кемпинга, которое обсуждали ребята? Ответ выразите в километрах.
(8.5; 9]
[7.5; 8.5]
(7.5; 9)
[9; 10)
[7.5; 8]

Задание 2: Найдите значение выражения ⎷78125⎷15625⎷3125⎷625⎷125⎷25

Задание 3: Вася нарисовал в клетчатой тетради квадрат 8×8 со сторонами, идущими по линиям сетки. Внутри этого квадрата он хочет нарисовать другой квадрат с вершинами в узлах сетки (при этом стороны могут не быть параллельны сторонам исходного квадрата). Сколько различных вариантов площадей таких квадратов может получить Вася? Квадрат 8×8 в ответе не учитывать.

Задание 4: В прямоугольный треугольник ABC со сторонами AC=24, BC=7 вписана полуокружность так, как показано на рисунке. Центр полуокружности лежит на стороне AC, полуокружность касается сторон AB и BC.

Найдите расстояние от точки A до точки касания на AB.

Задание 5: На олимпиаде были предложены 4 задачи, каждая из которых оценивалась в 0, 1, 2 или 3 балла. Оказалось, что среди участников нет таких, которые набрали бы одинаковое число баллов хотя бы по двум задачам. Какое наибольшее количество участников могло быть на олимпиаде?

Задание 6: Аня нарисовала на координатной плоскости красным фломастером множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношению |x|−|y|=5, а Ваня нарисовал синим фломастером окружность радиуса 5 с центром в начале координат. Сколько точек были покрашены и в синий, и в красный цвет?

Задание 7: Учитель записал на доске четырёхзначное число n и попросил выписать все его натуральные делители в порядке возрастания. Получился ряд 1, 2, 3, 5, …, n/2. В какой‑то момент в этом ряду встретилось число 323. Какое число выписано непосредственно перед ним?

Задание 8: Есть доска 11×5. Мотя красит каждую клетку в один из трёх цветов белый, красный или синий. Когда Мотя закончит, Вова может найти любую одноцветную пару клеток, имеющих общую сторону или вершину, и перекрасить эту пару клеток в зелёный цвет (и так делать до тех пор, пока это возможно). Мотя платит Вове по 10 рублей за каждую зелёную клетку. Сколько денег может гарантированно получить Вова?

11 класс

Задание 1. В выборах главы школьного совета приняло участие 1200 учеников старшей и средней школы. Было выдвинуто всего 2 кандидата Антон и Борис, причём для победы было достаточно набрать больше половины голосов участников. В какой‑то момент Антон точно понял, что уже набрал половину голосов. В этот момент из подсчитанных бюллетеней было 8 % недействительных, а из остальных 60 % было за Антона, а 40 % за Бориса. Какое наименьшее количество бюллетеней могло быть подсчитано к этому моменту?

Задание 2: Обозначим новую математическую операцию a*b=(a−1)(b+1). Известно, что a*b=30, а b a=40. Чему может быть равно a+b? Укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 3: В летнем лагере 25 детей. В первый день мальчики пошли в кино, а девочки в бассейн. Во второй день все девочки пошли в кино, а мальчики наоборот, в бассейн. Оказалось, что в первый день за все виды досуга было заплачено на 13 рублей больше, чем во второй день. Известно, что посещение бассейна дороже, чем билет в кино. Сколько в лагере мальчиков? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 4: На доске нарисованы две окружности и две прямые, получилось всего 7 точек пересечения.

Какое наибольшее количество точек пересечения можно получить, если добавить к рисунку ещё одну окружность и две прямые?

Задание 5: Три круга радиусами 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Круги радиусом 1 и радиусом 2 касаются в точке A, а круги радиусом 2 и радиусом 3 в точке B. Найдите расстояние AB, умноженное на √5

Задание 6: Робот умеет прибавлять к числу 3 или 5 либо делить его на 2. За какое наименьшее количество операций он получит из числа 2027 число 2025?

Задание 7: Известно, что для пары действительных чисел x и y (x>1, y>1) logx(yx)=logy(x7y)=21
Чему может быть равно xy? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 8: За круглым столом стояли 12 стульев, которые пронумерованы от 1 до 12. В переговорах участвовали президенты четырёх стран, каждый со своим переводчиком. Президенты могли сесть только на стулья с нечётными номерами, а переводчики всегда садились рядом со своими президентами. Сколькими способами президенты и их переводчики могли сесть за стол переговоров?

Официальные задания и ответы Сириус для 7, 8, 9, 10, 11 класса школьного этапа 2024/25 всероссийской олимпиады школьников ВсОШ по Математике 4 группа 17.10.2024 на официальном сайте Сириуса uts.sirius.online.