18.10.2024 Олимпиада «Сириус» Математика 10 класс – 2 группа (Резервный день)

10 класс

Задание 1. Боковые грани пирамиды четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны a, b и c.

Выберите верное утверждение:
a=b=c
b=c>a
b<c<a
a>b=c

Задание 2: Действительные числа x и y таковы, что

Какое наибольшее значение может принимать y?

Задание 3: На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D и параллельная AB, пересекает ω в точке P. Известно, что ∠PDC=20∘, ∠DPB=85∘.

Найдите величину угла ∠ABC. Ответ выразите в градусах.

Задание 4: Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД (a, b) =2 и НОД (b, c) =4. Чему может быть равен НОД (a, c)? Выберите все верные ответы:
1
2
3
6
12

Задание 5: У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником 4×10 (4 строчки, 10 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет? Порядок поедания важен.

Задание 6: Прямая ℓ, пересекающая стороны AB и AC треугольника ABC, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y проекции точек B и C на прямую ℓ. Найдите длину отрезка XY, если AB=19, AC=24.

Задание 7: В стране 3 мегаполиса и 6 городков. Авиакомпания планирует расписание полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие условия:
от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым рейсом или с пересадками);
если из пункта A есть рейс в пункт B, то и из пункта B есть рейс в пункт A;
из двух мегаполисов можно улететь ровно в три населённых пункта, а из одного в четыре;
из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт.
Сколько существует способов организовать такое расписание?

Задание 8: Числа a1, a2, ……, a9 таковы, что

Какое наибольшее значение может принимать a1?

Решения для Олимпиады по Математике 10 класс Сириус резервный день школьного этапа 2024/25 всероссийской олимпиады школьников ВсОШ 2 группа 18.10.2024 на официальном сайте Сириуса uts.sirius.online.