Программа факультатива по математике, 8-9 класс

Примерная программа кружка (факультатива) «Избранные вопросы математики» для обучающихся 8-9-х классов

Пояснительная записка

В курсе «Избранные вопросы математики» использованы материалы, подготовленные в ИОСО РАО Г.В. Дорофеевым, Е.А. Бунимовичем, Л.B. Кузнецовой, С.С. Минаевой, С.Б. Суворовой, Т.М. Мищенко и Л.O. Рословой.

Материал для курса подобран таким образом, чтобы развить интерес школьников к предмету, продемонстрировать применение математики на практике (в экономике, архитектуре, искусстве), познакомить с некоторыми историческими соединениями, подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов.

Особенность курса состоит в том, что для занятий предлагаются небольшие фрагменты, рассчитанные на 2— 4 урока, относящиеся к разным разделам математики. Уровень сложности таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число школьников. Для кого-то из них эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к математике. Сюжетное построение курса позволяет менять порядок тем и количество часов в рассматриваемом фрагменте в зависимости от интереса учащихся и по их желанию включать новые темы для рассмотрения.

При изучении курса не ставится цель выработки каких- либо специальных умений и навыков. Целью работы кружка являются развитие мотивации учащихся к изучению точных наук, привитие интереса к той или иной теме в учебном курсе математики, раскрытие красоты и важности математики в жизни человека. Исходя из этого, основными задачами курса можно считать выявление математических наклонностей и способностей у учащихся; понимание значимости математики как части общечеловеческой культуры для профессиональной деятельности; формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и в то же время формирование целостной картины Мира (например, связь архитектуры с математикой).

Курс состоит из семи фрагментов:

• Знакомство с комбинаторикой.

• Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

• Золотое сечение.

• Диофантовы уравнения.

• Неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

• Графики уравнений с модулями.

• Построение одним циркулем.

Для освещения курса предлагается 17 часов. Применяются такие формы работы, как лекции, беседы, практикумы (решение задач), предполагаются самостоятельные или групповые проектные разработки (составление задачника, подготовка реферата, исторический экскурс). Формы работы предполагаются как индивидуальные, так и групповые, исследовательские.

Курс «Избранные вопросы математики» позволит получить представление о комбинаторике; расширит границы применения процентного исчисления, общий кругозор личности и разовьет эстетическое восприятие математических фактов, глубже покажет связь между алгебраическими соотношениями и их геометрическими образами.

Критерием достижений учащихся будет являться осознанный выбор проектной работы и достаточная полнота и серьезность этой работы.

Темы проектных работ:

1. Случайные исходы событий и явлений и их исследования.

2. Сбор и анализ данных и виды их представления.

3. «Золотое сечение» в математике, архитектуре и искусстве.

Тематический план работы кружка (факультатива)

Содержание программы

I. Знакомство с комбинаторикой (3 ч).

1. Комбинаторные задачи. Исторический экскурс.

2. Решение задач с помощью правила умножения.

3. Знакомство с другими приемами.

II. Процентные вычисления в жизненных ситуациях (З ч).

1. Распродажа.

2. Тарифы.

3. Штрафы.

4. Банковские операции.

5. Голосование.

III. Золотое сечение (2 ч).

1. Что означают слова «золотое сечение»?

2. Чему равно золотое сечение?

3. Строим золотой прямоугольник циркулем и линейкой.

4. Интересный факт: золотой прямоугольник «сохраняет форму».

5. Чем привлекает людей пятиконечная звезда?

IV. Диофантовы уравнения (2 ч).

1. Вводная задача и исторический экскурс.

2. Решение линейных уравнений методом перебора.

3. Еще один прием решения — «метод спуска».

4. Выясняем: всегда ли линейное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения.

V. Неравенства с двумя переменными на координатной плоскости (2 ч).

1. Задание областей на координатной плоскости неравенствами вида X > A, Y > В и системой таких неравенств.

2. Задание областей координатной плоскости линейными неравенствами с двумя переменными и системами таких неравенств.

3. Примеры геометрической интерпретации нелинейных неравенств с двумя переменными и их систем.

VI. Графики уравнений с модулями (3 ч).

1. Актуализация базовых знаний и умений. Объяснение и мотивация цели работы.

2. Приемы построения графиков и выполнение упражнений.

VII. Построение одним циркулем (2 ч).

1. Постановка математической проблемы и ее история.

2. Решение геометрических задач на построение одним циркулем.

Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

Знакомство с комбинаторикой

1. Необходимо обозначить круг задач, которые будут предложены ученикам. Это задачи, содержащие вопросы типа: «Сколькими способами?», «Сколько всего существует вариантов?» и т. д. Например, сколько существует способов распределения золотой, серебряной и бронзовой медалей между командами в футбольном чемпионате? Сколькими способами можно добраться из одного города в другой? Сколько абонентов может обслуживать телефонная станция, если все номера четырехзначные? Подобные задачи называются комбинаторными.

2. Немного об истории комбинаторных задач. С такими задачами люди сталкивались еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение охотников во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Потом появились игры (нарды, шашки, шахматы и др.). Приспособления для таких игр ученые находили в древних захоронениях (например, в гробнице египетского фараона Тутанхамона). Как ветвь математики комбинаторика появилась в XVII в. Толчком к этому послужили азартные игры (например, игра в кости). Проблемой вероятности выпадения разных комбинаций занимались в XVI в. итальянцы Джироламо Кардана, Николо Тарталья, в XVII в. — Галилео Галилей, крупнейшие математики Франции Блез Паскаль и Пьер Ферма. Работы последних ознаменовали рождение комбинаторики и теории вероятностей. Еще одна причина появления этих ветвей математики — тайные переписки и шифры. Так, еще в конце XVI в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III и испанцами занимался великий математик Франсуа Виет. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных приемов оказались биология, химия, физика. И, наконец, с появлением компьютеров комбинаторика превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

3. Далее рассматриваются задачи, которые решаются на основе правила умножения. Следует сделать акцент не на формальном применении этого правила.

Задача 1. Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир — на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург — Москва — Владимир?

Решение.

Всего получается 8 способов путешествия.

Записываем вывод как простое утверждение: если некоторое действие можно осуществить m различными способами, после чего другое действие — п различными способами, то два этих действия можно осуществить m • п различными способами.

Задача 2. В розыгрыше чемпионата по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены: а) золотая медаль; б) золотая и серебряная медали; в) золотая, серебряная и бронзовая медали?

Решение.

а) 12 (любая команда);

б) 12 • 11 = 132 (по правилу умножения серебряная медаль разыгрывается уже между 11-ю командами);

в) 12-11 • 10 = 1320 (это обобщение правила умножения для трех действий).

Задача 3. Сколько существует вариантов кода для входной двери, состоящего из трех цифр?

Решение.

1. Если рассматривать случай последовательного набора, то цифры (их 10) могут повторяться. Тогда по правилу умножения:

10 • 10 • 10 = 1000 (вариантов кода).

2. В случае одновременного набора трех цифр получается:

10 • 9 • 8 = 720 (вариантов кода).

Задачи для самостоятельного решения (на занятиях в кружке и дома)

Задача 4. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых: а) не повторяется ни одна из цифр; б) цифры могут повторяться; в) все цифры — нечетные;

г) все цифры — четные? Ответ: а) 9 • 9 • 8 • 7 = 4536;

б) 9 • 10 • 10 • 10 = 9000;

в) 5 • 5 • 5 • 5 = 625;

г) 4 • 5 • 5 • 5 = 500.

Задача 5. Известно, что у всех жителей селения разные инициалы. Какое максимальное число жителей может быть в селении? Имя и отчество не может начинаться с букв й, ъ, ь, ы.

Ответ: 29 • 29 = 841 житель.

Задача 6. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга?

Ответ: 64 • 49 = 3136 способов.

4. Следующие задачи позволяют обратить внимание учеников на то, что правило умножения совсем не единственный и не универсальный способ решения задач в комбинаторике.

Задача 7. При передаче сообщений по телеграфу используется азбука Морзе. В этой азбуке каждая буква передается последовательностью точек и тире. Можно ли обойтись последовательностью из четырех знаков, чтобы передать все буквы алфавита?

Решение.

1. С помощью одного знака можно передать две буквы («• » и «—»).

2. С помощью двух знаков — четыре (« • •», «—», «• —» и «— •»).

3. Из трех знаков — 8 букв.

4. Из четырех знаков — 16 букв.

Итак, всего 2 + 4 + 8 + 16 = 30 букв можно передать с помощью четырех знаков. Русский алфавит содержит 33 буквы.

Ответ: нельзя.

Задача 8. В стране 25 городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране?

Решение.

Из А выходит 24 авиалинии, из В — 23, из С — 22 и т. д.

Ответ: 24 + 23 + … + 2 + 1 = 300 авиалиний.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9. Петр 5 раз подбрасывал монету и каждый раз записывал, что у него выпадало — «орел» или «решка». Получилась последовательность из 5 букв: ОРРОО.

А сколько всего существует таких вариантов последовательностей?

Ответ: 25 = 32.

Задача 10. В турнире участвовали 16 шахматистов, причем каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько было сыграно партий?

Ответ: (16 • 15) : 2 = 120.

Задача 11. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Ответ: (50 • 49) : 2 = 1225.

Задача 12. Сколькими способами из класса в 30 человек можно выбрать капитана команды и его заместителя?

Ответ: 30 • 29 = 870.

Задача 13. Сколькими способами из класса в 30 человек можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?

Ответ: (30 • 29) : 2 = 435.

5. Результаты самостоятельного решения обсуждаются на занятиях кружка.