Материалы для 8 класса

Конспект Квадратные уравнения можно решать методом выделения квадрата двучлена. Напомним формулы квадрата разности и квадрата суммы. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Рассмотрим уравнение 5x2 – 6x + 1 = 0. Преобразуем к приведённому виду. Разделим на 5 обе части уравнения: Второй коэффициент представим в виде произведения: Для выделения квадрата двучлена не хватает квадрата вычитаемого. Прибавим выражение…

Тема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Содержание модуля (краткое изложение модуля): Квадратным уравнением будем называть уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b…

Тема: Контрольно-обобщающий урок по теме «Квадратные корни» Содержание модуля (краткое изложение модуля): Квадратным корнем числа а называют такое число b, квадрат которого равен а, т.е. b2 = a.82 = 64,…

Тема: Преобразование выражений, содержащих корни Содержание модуля (краткое изложение модуля): Покажем на примерах некоторые виды преобразований выражений, содержащих квадратные корни.Упростим выражение 7√7y – 4√28y + √63y. Оценим, можно ли преобразовать…

Конспект Сравним числа и . Представим как корень из произведения . Корень из произведения . Получим: . Теперь числа легко сравнить: . заменили на  – это преобразование называется вынесением множителя за знак корня. Теперь сравним те же числа – и…

Тема: Квадратный корень из степени Содержание модуля (краткое изложение модуля): Теорема. Для любых x верно равенство: √(x2) = |x| Докажем теорему. x ≥ 0 По определению арифметического квадратного корня: для…

Конспект Докажем теорему. Для любых неотрицательныx чисел c и d выполняется следующее: . Вспомним определение арифметического квадратного корня из числа. Арифметическим квадратным корнем из числа b называют неотрицательное число, квадрат которого равен b. То есть должны выполняться два условия: • b ≥ 0; •…

Конспект Пусть тело массой два килограмма движется со скоростью v. Тогда зависимость его кинетической энергии от скорости будет выражаться формулой . Наоборот, для каждого значения кинетической энергии можно указать единственное значение скорости, с которой будет двигаться тело. Зависимость скорости от значения кинетической энергии…

Конспект Рассмотрим, как можно найти приближённые значения арифметического квадратного корня. х2 = 9; корни 3 и –3; х2 = 3; корни ≈ 1,7 и ≈ –1,7; Начнём с оценки целой части искомого корня. Будем последовательно возводить в квадрат целые числа. Следовательно, цифра целой части: 2. Чтобы найти цифру десятых долей в искомом корне, будем…

Тема: Уравнение Х2 = a Содержание модуля (краткое изложение модуля): Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x2 = a, при aX2 = a, при…

Конспект Квадратным корнем из числа b называют такое число, квадрат которого равен b. Арифметическим квадратным корнем из числа b называют неотрицательное число, квадрат которого равен b. Обозначение арифметического квадратного корня: .  – знак корня, или знак радикала. Выражение под знаком корня называют…

Тема: Иррациональные числа Содержание модуля (краткое изложение модуля): На координатной оси с единичным отрезком ОЕ отмечена точка D. Является ли длина отрезка OD рациональным числом?Измерим длину OD при помощи единичного…

Конспект Все натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) образуют множество натуральных чисел. Множество натуральных чисел обозначается N. При добавлении к натуральным числам противоположных им –1, –2, –3, –4, –5 и так далее, а также 0 образуется множество целых чисел. Множество…

Тема: Контрольно-обобщающий урок по теме «Рациональные дроби» Содержание модуля (краткое изложение модуля): Целые выражения – выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также…

Тема: Функция y = k/x и её график Содержание модуля (краткое изложение модуля): Функция y = 1/x является частным случаем функции y = k/x, где k ≠ 0.Обратной пропорциональностью называется…

Конспект Напомним формулы сокращённого умножения. a2 – b2 = (a – b)(a + b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Упростим выражение . Заменим в последней дроби знаменатель на противоположное выражение, при этом знак перед дробью поменяется на противоположный: Воспользуемся формулой разности квадратов: В качестве общего знаменателя выбираем…

Тема: Деление дробей Содержание модуля (краткое изложение модуля): Обыкновенной дробью называется запись числа в виде, которая означает деление числа на число. Число называется числителем дроби, число – её знаменателем.Чтобы разделить…

Тема: Умножение дробей. Возведение дроби в степень Содержание модуля (краткое изложение модуля): Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители, затем перемножить их знаменатели, и первое произведение записать в числитель,…

Конспект Чтобы выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Затем выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Пример: . • Найдём наименьший общий знаменатель 3y2x3 и 2y3x2: это 6y3x3. • Дополнительный множитель…

Конспект При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же. Пример: Запись в общем виде: , где d, e – любые многочлены, f – ненулевой многочлен. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель…

Тема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей Содержание модуля (краткое изложение модуля): Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то…

Конспект Целые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля,…

Тема: Решение уравнений графическим способом Содержание модуля (краткое изложение модуля): Решим графическим способом уравнение: x2 = −3x Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x2…

Конспект График функции – понятие в математике, которое даёт представление о геометрическом образе функции. Функция y = x2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит,…

Конспект Графиком функции является множество точек , где x – любое действительное число, отличное от нуля. Построим график функции сначала для положительных значений х. Из свойства функции известно, что функция является непрерывной на всей области определения, поэтому отмеченные…

Тема: График функции y = kx Содержание модуля (краткое изложение модуля): Изучим график функции y = kx. Обратим внимание на то, как меняется положение графика в зависимости от коэффициента k?…

Конспект Зададим формулой функцию, заданную графически. График изображает биссектрису первого и третьего координатных углов. Можно предположить, что у этой функции ордината всегда равна абсциссе, например, заметим, что у точки А координаты (1; 1), у точки В координаты (2; 2), у точки С координаты (–1, –1).…

Конспект График функции – понятие в математике, которое даёт представление о геометрическом образе функции. Общее определение функции Пусть K – некоторое множество чисел и пусть каждому числу x из множества K в силу определённого закона (зависимости) поставлено в соответствие одно число y из множества T.…

Напомним основные понятия и выводы теме «Окружность»Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.Общая точка прямой и окружности называется точкой касания. Отрезки касательных к окружности, проведенные…

Введем новое понятие: описанная окружность.Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. На рисунке четырёхугольник MNKP вписан…