Образовательная платформа
Конспект Числовые неравенства и их свойства Определение Число a больше числа b, если разность a – b – положительное число. Число a меньше числа b, если разность a – b – отрицательное число. Если разность равна 0, то числа a и b равны. Свойства 1. Если a > b, то b < a; если a < b, то b > a. 2. Если…
Конспект Задачи на доказательство неравенств считаются наиболее сложными в школьном курсе алгебры. Сегодня мы познакомимся с двумя самыми распространёнными приёмами доказательства неравенств. Один из приёмов доказательства неравенств состоит в том, чтобы составить разность левой и правой частей неравенства и показать, что её знак не меняется при любых значениях переменной. Рассмотрим этот приём на примере…
Конспект Рассмотрим задачу. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 3 см, а его периметр больше 8 см. Какую длину может иметь основание треугольника? Обозначим основание треугольника через х. Значение х должно удовлетворять нескольким условиям. С одной стороны, периметр должен быть больше 8 см. Получаем неравенство 3 + 3 + х > 8, которое…
Конспект Рассмотрим неравенство 7 + 2x > 23. Если x = 0, то 7 + 2 • 0 > 23; 7 + 0 > 23; 7 > 23. Неравенство является неверным, что очевидно из решения. Если x = 10, то 7 + 2 • 10 > 23; 7 + 20 > 23; 27 > 23. Число 10 является решением неравенства или удовлетворяет этому неравенству. Неравенство может иметь несколько решений,…
Конспект Пусть заданы 2 взаимно перпендикулярные оси координат – ось x и ось y так, что: 1. Точка О – точка их пересечения и начальная точка каждой из осей координат. 2. Единичные отрезки этих осей равны. Таким образом определена на плоскости прямоугольная система координат xOy. Прямоугольную систему координат называют также декартовой…
Конспект Множества можно изображать с помощью кругов. Эти круги называются кругами Эйлера, в честь знаменитого математика – Леонарда Эйлера. Если множества имеют общие элементы, то, составив из этих элементов новое множество, мы получим пересечение данных множеств. Множество С состоит из элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, то есть множество С является…
Конспект Рассмотрим два множества чисел. A – множество, состоящее из чётных натуральных чисел в промежутке от 2 до 20, включая эти числа: A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 20}. B – множество, состоящее из натуральных чисел в промежутке от 3 до 10, включая эти числа: B = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. C = A ∩ B; C = {4; 6; 8; 10}. Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех общих элементов…
Тема: Погрешность и точность приближения Содержание модуля (краткое изложение модуля): По графику функции y = x2 найдём приближённые значения функции для х = 1,8 и х = 2,9. При х…
Тема: Сложение и умножение числовых неравенств Содержание модуля (краткое изложение модуля): Теорема о почленном сложении неравенств. Рассмотрим неравенства a<b и c<d. Докажем, что выполняется неравенство a + c<b + d.Доказательство.…
Конспект Число a называется большим (меньшим) числа b, если разность a – b положительна (отрицательна). a < b означает, что a – b < 0, a > b означает, что a – b > 0. Рассмотрим геометрическую интерпретацию понятия «больше» и «меньше» для действительных чисел. Если точка с координатой a находится правее на координатной оси, чем точка с координатой b, значит число a…
Конспект Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём a ≠ 0. Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения, причём число a – первый, или старший, коэффициент, число b – второй коэффициент, число c – свободный член. Полные и неполные квадратные уравнения…
Тема: Уравнения с параметром Содержание модуля (краткое изложение модуля): Рассмотрим уравнениеax + b = 0Приведем уравнение к видуax = —bНайдём корни уравнения, рассмотрев различные вариант значений параметров a и b.Рассмотрим…
Тема: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений Содержание модуля (краткое изложение модуля): Рассмотрим задачу №1.При совместной работе двух программистов программа была написана за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы…
Тема: Решение дробных рациональных уравнений Содержание модуля (краткое изложение модуля): Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называется дробным рациональным выражением.Примеры таких уравнений(x + 2)/x =…
Конспект Квадратное уравнение x2 – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x1 = 2; x2 = 4. x1 • x2 = 8 – равно свободному члену; x1 + x2 = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0. D = p2 – 4q.…
Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений. Содержание модуля (краткое изложение модуля): Задача №1. Иван Иванович приехал в магазин покупать изгородь для своего дачного участка, имеющего прямоугольную форму, но забыл…
Конспект Квадратные уравнения можно решать методом выделения квадрата двучлена. Напомним формулы квадрата разности и квадрата суммы. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Рассмотрим уравнение 5x2 – 6x + 1 = 0. Преобразуем к приведённому виду. Разделим на 5 обе части уравнения: Второй коэффициент представим в виде произведения: Для выделения квадрата двучлена не хватает квадрата вычитаемого. Прибавим выражение…
Тема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Содержание модуля (краткое изложение модуля): Квадратным уравнением будем называть уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b…
Тема: Контрольно-обобщающий урок по теме «Квадратные корни» Содержание модуля (краткое изложение модуля): Квадратным корнем числа а называют такое число b, квадрат которого равен а, т.е. b2 = a.82 = 64,…
Тема: Преобразование выражений, содержащих корни Содержание модуля (краткое изложение модуля): Покажем на примерах некоторые виды преобразований выражений, содержащих квадратные корни.Упростим выражение 7√7y – 4√28y + √63y. Оценим, можно ли преобразовать…
Конспект Сравним числа и . Представим как корень из произведения . Корень из произведения . Получим: . Теперь числа легко сравнить: . заменили на – это преобразование называется вынесением множителя за знак корня. Теперь сравним те же числа – и…
Тема: Квадратный корень из степени Содержание модуля (краткое изложение модуля): Теорема. Для любых x верно равенство: √(x2) = |x| Докажем теорему. x ≥ 0 По определению арифметического квадратного корня: для…
Конспект Докажем теорему. Для любых неотрицательныx чисел c и d выполняется следующее: . Вспомним определение арифметического квадратного корня из числа. Арифметическим квадратным корнем из числа b называют неотрицательное число, квадрат которого равен b. То есть должны выполняться два условия: • b ≥ 0; •…
Конспект Пусть тело массой два килограмма движется со скоростью v. Тогда зависимость его кинетической энергии от скорости будет выражаться формулой . Наоборот, для каждого значения кинетической энергии можно указать единственное значение скорости, с которой будет двигаться тело. Зависимость скорости от значения кинетической энергии…
Конспект Рассмотрим, как можно найти приближённые значения арифметического квадратного корня. х2 = 9; корни 3 и –3; х2 = 3; корни ≈ 1,7 и ≈ –1,7; Начнём с оценки целой части искомого корня. Будем последовательно возводить в квадрат целые числа. Следовательно, цифра целой части: 2. Чтобы найти цифру десятых долей в искомом корне, будем…
Тема: Уравнение Х2 = a Содержание модуля (краткое изложение модуля): Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x2 = a, при aX2 = a, при…
Конспект Квадратным корнем из числа b называют такое число, квадрат которого равен b. Арифметическим квадратным корнем из числа b называют неотрицательное число, квадрат которого равен b. Обозначение арифметического квадратного корня: . – знак корня, или знак радикала. Выражение под знаком корня называют…
Тема: Иррациональные числа Содержание модуля (краткое изложение модуля): На координатной оси с единичным отрезком ОЕ отмечена точка D. Является ли длина отрезка OD рациональным числом?Измерим длину OD при помощи единичного…
Конспект Все натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) образуют множество натуральных чисел. Множество натуральных чисел обозначается N. При добавлении к натуральным числам противоположных им –1, –2, –3, –4, –5 и так далее, а также 0 образуется множество целых чисел. Множество…
Тема: Контрольно-обобщающий урок по теме «Рациональные дроби» Содержание модуля (краткое изложение модуля): Целые выражения – выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также…