Материалы для 9 класса

Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки. Обозначим шары буквами А Бэ Цэ Дэ. В каждую ячейку можно поместить по одному шару из этого набора.Если мы поместим шар А…

Конспект Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке. Количество перестановок из n элементов обозначают так: Pn. Чтобы вычислить количество перестановок нужно воспользоваться формулой: Pn = 1 • 2 • 3 • … • (n – 1) • n. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом и обозначается так: n! Принято считать, что 0! = 1.…

Конспект Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо составить комбинации каких-либо элементов из заданного набора по определённым условиям и (или) подсчитать количество получившихся комбинаций. Комбинаторика – раздел математики, который занимается решением комбинаторных задач. При решении комбинаторных задач можно воспользоваться: • методом перебора; •…

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.…

Мы научились находить сумму большого количества чисел, кратных, например, числу 7. Мы научились находить сумму большого количества слагаемых – степеней числа 2. А чему равна сумма квадратов первых трёхсот натуральных…

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.…

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.Из…

Рассмотрим последовательность. Заметим, что каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на 0,5.Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен единице, а каждый следующий получается из умножением на -7.Мы…

Вспомним основные сведения об арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d. Число d называют…

Напомним, что арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.Зная первый…

Конспект Напомним, что арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. (an) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n an + 1 = an + d, где d – некоторое число. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность…

Рассмотрим последовательность. -19,2; -17,4; -15,6; -13,8;… Заметим, что каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением числа 1,8 .Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен 5, а каждый следующий…

Рассмотрим последовательность. -19,2; -17,4; -15,6; -13,8;… Заметим, что каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением числа 1,8.Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен 5, а каждый следующий получается…

Вспомним, что решением уравнением с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.Чтобы решить уравнение с двумя переменными пользуются графическим методом, то есть строят график уравнения.…

Конспект Рассмотрим систему уравнений: Преобразуем сначала второе уравнение системы, а точнее многочлен, который стоит в левой части уравнения: Сгруппируем выделенные слагаемые: Из первой группы вынесем за скобки общий множитель, а саму скобку представим как выражение во второй степени, используя…

Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными.y – x>5,x2 – 1>yПара чисел 6 и 12 являются решением данной системы, так как при подстановке этих значений вместо переменных получаются верные числовые неравенства.Сделаем…

Рассмотрим неравенство. 3x2 – y<0При значениях переменной икс равен 1, а игрик равен пяти, оно обращается в верное исловое неравенство.Говорят, что пара чисел 1 и 5 являются решением этого неравенстваРассмотрим…

Конспект Рассмотрим задачу. Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число Данная задача подразумевает использование формулы двузначного числа. Допустим,…

Рассмотрим алгоритм решения методом подстановки, а позже рассмотрим пример.Первый пункт алгоритма – это выражение одну переменную через другие в одном из уравнений.Второй – этап подстановки полученного выражения вместо переменной во…

Конспект Вспомним основные понятия. Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство. Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Решить…

Конспект Рассмотрим уравнение 3x2 + y = 13. Это уравнение является уравнением с двумя переменными x и y. При подстановке вместо переменной x числа 2, а вместо переменной y числа 1 мы получим верное равенство. Значит, пара чисел 2 и 1 является решением данного уравнения. Эту пару…

Конспект Вспомним два основных способа решения неравенств. Неравенства с одной переменной принято решать двумя основными способами: графическим способом и методом интервалов. Вспомним, каждый из них более детально. Графический метод заключается в изображении графика функции и определения нужных…

Начнём с того, что рассмотрим две теоремы, которые будут полезны для решения целых уравнений.Теорема о корне многочлена.Эта теорема позволит нам понизить степень уравнения, что заметно упрощает решение целого уравнения.Если у…

Рассмотрим функцию.Нулями этой функции будут следующие значения переменной икс: минус один, два и семьОбластью определения данной функции является множество всех чисел, а нули функции будут разбивать это множество на промежутки,…

Конспект Неравенства, в одной части которых стоит квадратный трёхчлен, а в другой – нуль, называют неравенствами второй степени с одной переменной. Для решения неравенств такого вида используют свойства квадратичной функции и её графика. А именно, нули функции и направление ветвей…

Конспект Вспомним, что значит решить уравнение. Решить уравнения – это значит найти все его корни или доказать, что таковых нет. Также вспомним, что является корнем уравнения. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Вспомним все виды…

Конспект Когда обе части выражения представляют из себя рациональные выражения, и хотя бы одно является дробным, то такие уравнения называют дробными рациональными. На простом примере вспомним алгоритм решения дробных рациональных уравнений. В первую очередь необходимо привести все дроби…

Рассмотрим уравнение. 31x3 – 10x = (x – 5)2 + 6x2И левая и правая части уравнения являются целыми выражениями.Напомним, что подобные уравнения называются целыми уравнениями.Вернёмся к нашему изначальному уравнению и…

Конспект Квадратичная функция и её график Определение: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = ах2 + bх + с, где х – независимая переменная, а, b и с – некоторые числа, причём а ≠ 0. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: • найти…

Конспект Выражение означает , т. е. или . Знаменатель показателя степени начального выражения является показателем степени корня, который нужно извлечь из выражения. Если a – положительное число,  – дробное число (m – целое число, n – натуральное…