Образовательная платформа
Функция – одно из важнейших математических понятий. Слово «функция» (от латинского function – совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 17 веке. Общее определение понятия функции было сформулировано…
Тела вращения – это геометрические тела, которые образованы в результате вращения плоской фигуры вокруг стороны или диаметра.Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Прямая, содержащая данную сторону называется осью…
КонспектШкольный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрия и стереометрия.Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучают свойства геометрических фигур на плоскости.Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучают свойства…
КонспектДвижение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояние между точками. При движении:— прямая переходит в прямую;— луч переходит в луч;— отрезок переходит в равный отрезок;— угол переходит…
КонспектРазберём решение нескольких задач на движение. Задача 1. Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС с вершинами А (–1; 2),В (5; –1), С (2; –3) относительно точки О (3; 1). Найдите координаты…
Отметим на плоскости точку О – центр поворота и зададим угол α – угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором…
КонспектОтметим точки A, B и зададим некоторый вектор а. Отложим вектор а от каждой из точек. При этом точка А отображается в точку А1, точка В отображается в точку В1.…
Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Говорят, что задано отображение плоскости на себя. Примерами…
Сегодня на уроке мы должны вспомнить весь теоретический материал по теме «Длина окружности и площадь круга» и закрепить умения применять его на практике для решения задач. Давайте вместе вспомним основные…
Для построения правильных n-угольников при n>4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.Задача 1. Построим правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезкуВоспользуемся формулой для стороны правильного шестиугольника:a6 = 2Rsin (180°)/6 =…
КонспектЗадача №1. Площадь не закрашенного сектора круга равна 10π. Вычислите радиус R.Воспользуемся формулой вычисления площади сектора круга: S = πR2/360 ∙ αОтсюда выразим значение R: R = √(S ∙ 360/πα)Обратим…
КонспектКруг – часть плоскости, ограниченная окружностью.Круг радиуса R с центром О содержит саму точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О, на расстоянии, не большем чем радиус R.Рассмотрим…
Представим, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Разрежем нить в произвольной точке А и распрямим нить.Длина полученного отрезка АА1 и есть длина окружности.Приближённым значением длины окружности является периметр любого…
Обозначим S площадь правильного n-угольника, an его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S =…
КонспектПравильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.Зная, что сумма всех углов такого n-угольника равна полупроизведению числа сторон на 180 градусов, можно получить формулу…
Соотношения между сторонами и углами треугольника Теорема синусов: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R (R – радиус описанной окружности)Теорема косинусов: а2 = b2 + c2 — 2bc cos αПлощадь…
Покажем, как связано скалярное произведение векторов с их координатами. Докажем: a ⃗∙ b ⃗ = x1x2 + у1y2Доказательство:Выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ)…
КонспектПусть нам даны два вектора a ⃗и b ⃗. Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ) ⃗, равные данным.…
КонспектЭлементами треугольника являются его стороны и углы. Решить треугольник – это найти его неизвестные элементы, по каким-нибудь трём данным элементам.Решим треугольник по двум сторонам и углу между ними. Дано: a,…
КонспектМы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы. Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста градусов). Прямоугольный треугольник…
Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов. S = 1/2 b c sinA, (1)S = 1/2 a с sin B. (2)S…
Мы знаем, как найти площадь треугольника, зная его сторону и высоту, проведённую к ней: S = 1/2 ahaТакже мы можем вычислить площадь треугольника, если известны три его стороны (формула Герона):…
КонспектНа координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Эта окружность задаётся следующим уравнением: x2 + y2 = 1Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную…
В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Из точки О проведём луч m, который пересекает…
КонспектЛюбой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.В прямоугольной системе координат для векторов выполняются следующие свойства.1. Каждая координата суммы двух или более…
Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.Рассмотрим окружность с центром О1 и окружность с центром О2. Тогда расстояние между их…
КонспектВведём уравнение произвольной линии. В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L. Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки…
Метод координат позволяет изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств. Одним из основных понятий этого метода является понятие координат вектора. Покажем связь между координатами вектора и…
КонспектОтрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.Положение вектора на плоскости задаётся его координатами. Для определения координат вектора…
Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Виды коллинеарных векторов Сонаправленные a ⃗ ↑↑ b ⃗ Противоположно…