Материалы для 9 класса

КонспектОтметим точки A, B и зададим некоторый вектор а. Отложим вектор а от каждой из точек. При этом точка А отображается в точку А1, точка В отображается в точку В1.…

Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Говорят, что задано отображение плоскости на себя. Примерами…

Сегодня на уроке мы должны вспомнить весь теоретический материал по теме «Длина окружности и площадь круга» и закрепить умения применять его на практике для решения задач. Давайте вместе вспомним основные…

Для построения правильных n-угольников при n>4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.Задача 1. Построим правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезкуВоспользуемся формулой для стороны правильного шестиугольника:a6 = 2Rsin (180°)/6 =…

КонспектЗадача №1. Площадь не закрашенного сектора круга равна 10π. Вычислите радиус R.Воспользуемся формулой вычисления площади сектора круга: S = πR2/360 ∙ αОтсюда выразим значение R: R = √(S ∙ 360/πα)Обратим…

КонспектКруг – часть плоскости, ограниченная окружностью.Круг радиуса R с центром О содержит саму точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О, на расстоянии, не большем чем радиус R.Рассмотрим…

Представим, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Разрежем нить в произвольной точке А и распрямим нить.Длина полученного отрезка АА1 и есть длина окружности.Приближённым значением длины окружности является периметр любого…

Обозначим S площадь правильного n-угольника, an его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S =…

КонспектПравильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.Зная, что сумма всех углов такого n-угольника равна полупроизведению числа сторон на 180 градусов, можно получить формулу…

Соотношения между сторонами и углами треугольника Теорема синусов: a/sin⁡α = b/sin⁡β = c/sin⁡γ = 2R (R – радиус описанной окружности)Теорема косинусов: а2 = b2 + c2 — 2bc cos αПлощадь…

Покажем, как связано скалярное произведение векторов с их координатами. Докажем: a ⃗∙ b ⃗ = x1x2 + у1y2Доказательство:Выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ)…

КонспектПусть нам даны два вектора a ⃗и b ⃗. Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ) ⃗, равные данным.…

КонспектЭлементами треугольника являются его стороны и углы. Решить треугольник – это найти его неизвестные элементы, по каким-нибудь трём данным элементам.Решим треугольник по двум сторонам и углу между ними. Дано: a,…

КонспектМы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы. Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста градусов). Прямоугольный треугольник…

Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов. S = 1/2 b c sin⁡A, (1)S = 1/2 a с sin B. (2)S…

Мы знаем, как найти площадь треугольника, зная его сторону и высоту, проведённую к ней: S = 1/2 ahaТакже мы можем вычислить площадь треугольника, если известны три его стороны (формула Герона):…

КонспектНа координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Эта окружность задаётся следующим уравнением: x2 + y2 = 1Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную…

В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Из точки О проведём луч m, который пересекает…

КонспектЛюбой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.В прямоугольной системе координат для векторов выполняются следующие свойства.1. Каждая координата суммы двух или более…

Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.Рассмотрим окружность с центром О1 и окружность с центром О2. Тогда расстояние между их…

КонспектВведём уравнение произвольной линии. В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L. Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки…

Метод координат позволяет изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств. Одним из основных понятий этого метода является понятие координат вектора. Покажем связь между координатами вектора и…

КонспектОтрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.Положение вектора на плоскости задаётся его координатами. Для определения координат вектора…

Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Виды коллинеарных векторов Сонаправленные a ⃗ ↑↑ b ⃗ Противоположно…

В трапеции АВСD отрезки АD и ВC являются основаниями трапеции, а отрезки АВ и СD – боковыми сторонами.Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется её средней линией. Докажем, что средняя…

КонспектПредставим себе, что велосипедист движется прямолинейно с постоянной скоростью, мотоциклист движется в том же направлении со скоростью вдвое большей. Навстречу им, то есть в противоположном направлении, движется автомобиль, скорость которого…

КонспектРазностью векторов a ⃗ и b ⃗ называется такой вектор, сумма которого с вектором b ⃗ равна вектору a ⃗: a ⃗ — b ⃗ = c ⃗, если c…

КонспектРассмотрим ситуацию. Стартовав из пункта A, туристы прошли 4 километра на запад, а затем 3 километра на север. В результате этих двух перемещений туристы переместились из пункта А в пункт…

Некоторые физические величины, например, сила или скорость характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными: F ⃗ – сила, v ⃗ – скорость.Дадим геометрическое определение вектора.Вектором…

КонспектДуховная жизнь рубежа столетий – одна из интереснейших страниц в культурном наследии России. В ней отразилась сложность и противоречивость эпохи, полной острейших конфликтов и политических битв, которые привнесли в общественное…