Задачи на «Инвариант» с ответами, 6 класс. Алгебра

Математические задачи для учащихся 6 класса с решением. Тема: Инварианты

Инвариант — величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка частей фигуры не меняет суммарной площади фигуры). Инварианты обычно используются для доказательства невозможности получить некое требуемое состояние из исходного с помощью указанных допустимых преобразований. Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться чётность или раскраску. В задачах про сумму цифр используются остатки от деления на 3 или на 9.

Задача 1.

В одной клетке квадратной таблицы 4×4 стоит знак «минус», а в остальных стоят «плюсы». Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Докажите, что сколько бы мы ни проводили таких перемен знаков, нам не удастся получить таблицы из одних «плюсов».

Решение:

Заменим знак « + » на 1, знак « — » на — 1. Заметим, что произведение всех чисел в таблице не меняется при смене знака у всех чисел столбца или строки, так как одновременно меняется знак у четырёх чисел. В начальном положении это произведение равно — 1, а в таблице из одних «плюсов» равно + 1, чем и доказывается невозможность перехода.

Задача 2.

На прямой стоят 2 фишки: слева — красная, справа — синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между фишками или с краю) и удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет других фишек). Можно ли с помощью таких операций оставить на прямой ровно 2 фишки: слева — синюю, а справа — красную?

Решение:

Рассмотрим число разноцветных пар (не только соседних), где левая фишка — красная, и заметим, что чётность этого показателя не меняется. Но в исходной ситуации наш показатель равен 1, в желаемой ситуации — нулю. Поэтому перейти к желаемой ситуации невозможно.

Ответ: нельзя.

Задача 3.

Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нём цифры, причём запрещается ставить нуль на первое место. Можно ли превратить число 1 в 846 с помощью таких операций?

Решение:

При помощи указанных операций нельзя получить число, кратное 3, а 846 кратно 3.

Ответ: нельзя.

Инвариант — остаток

Задача 4.

Было 5 кусков бумаги. Некоторые из них разрезали на 5 кусков каждый. Затем некоторые из получившихся кусков снова разрезали на 5 кусков, так сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 1975 кусков?

Решение:

При разрезании одного куска число кусков увеличивается на 4. Поэтому остаток от деления количества кусков на 4 не изменяется. 5 при делении на 4 даёт остаток 1, а 1975 при делении на 4 — остаток 3.

Ответ: не могло.

Задача 5.

Лист бумаги разрезали на 4 части. Затем некоторые из них или все из этих частей опять разрезали на 4 части и т. д. Можно ли в результате получить 50 листочков бумаги любого размера?

Решение:

Число 4 при делении на 3 даёт остаток 1. Предположим, что из четырёх первоначальных частей листа мы взяли одну часть и снова разрезали на 4 части. Таким образом, вместо одной части листа появилось 4 новых листа или, другими словами, к четырём первоначальным листам добавилось ещё 3 (то есть число, которое без остатка делится на 3). Поэтому какое бы число листочков мы ни брали и ни разрезали на 4 части, общее их число будет по-прежнему при делении на 3 давать остаток 1. Число же 50 при делении на 3 даёт остаток 2.

Ответ: нельзя.

Задача 6.

Имеется три груды камней: в первой — 1996, во второй — 996, в третьей — 96 камней. Одним ходом разрешается либо убрать из каждой груды по одному камню, либо половину камней из какой- либо груды (если в ней чётное число камней) переложить в любую другую. Можно ли добиться того, чтобы во всех трёх грудах не осталось ни одного камня?

Решение:

После каждого хода остаток от деления на 3 общего количества камней не меняется. Общее количество камней вначале было: 1996 + 996 + 96 = 3088 = 3 • 1029 + 1. Это число не делится на 3, следовательно, нельзя добиться, чтобы во всех грудах не осталось камней.

Ответ: нельзя.