Урок 1. Треугольники

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №1. Треугольники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Повторение теории по теме «Треугольники»;
2. Решение задач по теме «Треугольники»;
3. Теорема косинусов.

Глоссарий

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой; трех отрезков, попарно соединяющих эти точки; и ограниченная ими часть плоскости. Точки – это вершины треугольника, отрезки – это стороны треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс 

Саакян С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя 

Атанасян Л. С. и др.: Геометрия. 10 класс. Поурочные разработки к учебному комплекту

Математика 10-11 класс. Геометрия. Сборник рабочих программ: базовый и углубленный уровень

Атанасяна Л. С., Бутузова В. Ф. Геометрия. 10 класс. Технологические карты уроков по учебнику ФГОС

Зив Б. Г. и др. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений

Открытые электронные ресурсы:

Федерация Интернет-образования, сетевое объединение методистов www.som.fio.ru

Российская версия международного проекта Сеть творческих учителей it-n.ru

Российский общеобразовательный портал www.school.edu.ru

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов www.school-collection.edu.ru

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Треугольник в блеске.

Бриллиант, ограненный алмаз. В нем 57 граней. Основные грани камня имеют треугольную форму. За счет этого происходит великолепная игра света, переходящая в ослепительный блеск.

Рассмотрим эту фигуру и ее свойства.

Треугольник АВС– это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков: попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника. Обратите внимание на расположение углов и на обозначение сторон. Напротив угла В лежит сторона треугольника b.

Задача 1

Дано:

Найти: КN,

Решение.

Из по теореме Пифагора:

=0,75

Ответ:

Задача 2.

Дано:

Найти:

ED – средняя линия треугольника ABC

ED = 0,5 ⋅ AB, ED∥AB.

Так как ED∥AB, то ∠DEF =∠ABF, ∠EDF =∠FAB

DEF ABF (подобны по двум углам).

ED = 0,5 ⋅ AB, причём стороны ED и AB лежат против равных углов, то

= = = 0,25,

Так как , = 0,25.

Ответ: 0,25

Значение тригонометрических функций для некоторых углов

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема Чевы.

Теорема Чевы – классическая теорема геометрии треугольника. Установлена в 1678 г. итальянским ученым и инженером Джованни Чевой.

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы, , треугольника АВС проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Ребус – соответствие

Дайте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

 Отрезок треугольника:

• Медиана треугольника

• Биссектриса треугольника

• Высота треугольника

Определение:

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

• Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Подсказка:

Вспоминаем определения биссектрисы, медианы и высоты.

Разбор задания:

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Пример 2

Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу вписывая только номер высказывания.

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого;
2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника;
3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны;
4. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника;
5. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника;
6. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

нет

Подсказка: в признаках равенства используется слова равны, а в подобии — пропорциональны.

Разбор задания:

Признаки равенства.

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников:

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.