Урок 11. Площадь треугольника

Выведем формулу для вычисления площади треугольника и следствия из неё.
Одну из сторон треугольника будем называть основанием. Например, сторону AC. Тогда высотой треугольника будем считать ту, которая проведена к основанию.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и BCD.

Sпараллелограмма = SABC + SBCD, SABC = SBCD, поэтому Sпараллелограмма = 2SABC
AC ∙ BH = 2SABC
SABC = 1/2 AC ∙ BH
Вывод
Sтреугольника = 1/2 a ∙ h
Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника, т.е. половина произведения AB и BC.

SABC = 1/2 SABCD
SABC = 1/2 AB ∙ BC, но AB и BC – ab, поэтому
SABC = 1/2 ab, где a и b – катеты
Это первое следствие из теоремы о площади треугольника.
С другой стороны площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Пусть основанием является гипотенуза, а за высоту треугольника примем высоту, проведённую к гипотенузе.
SABC = 1/2 ch = 1/2 ab,
h = ab/c
Следствие второе:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Действительно, если h1 = h2 = h, то выражения для площадей примут вид
SABC = 1/2 AC ∙ hSA1B1C1 = 1/2A1C1 ∙ h
SABC/SA1B1C1 = (1/2 AC ∙ h)/(1/2 A1C1 ∙ h) = AC/A1C1
Тогда отношение площадей равно отношению оснований треугольников. Что и требовалось доказать.
Второе следствие помогает доказать утверждение:
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Пусть ∠A = ∠A1, тогда
SABC/SA1B1C1 = (AB ∙ AC)/(A1B1 ∙ A1C1)
Знание формулы для вычисления площади прямоугольного треугольника позволяет вывести формулу для вычисления площади ромба, отличную от формулы площади параллелограмма.
Известно, что диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника. Поэтому площади этих треугольников равны. Значит, можно утверждать, что площадь ромба равна четырём площадям треугольника. Проведя дальнейшие рассуждения, получим, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Sромба = 4 ∙ SABO = 4 ∙ 1/2 ∙ AO ∙ BO =(1)/2 ∙ 4 ∙ AO ∙ BO = 1/2 ∙ 2AO ∙ 2BO = 1/2 AC ∙ BD
Sромба = 1/2 ∙ d1 ∙ d2, где d1 ∙ d2 – диагонали ромба.