Урок 11. Понятие объемаКонспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №11
Понятие объёма
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
Понятие объёма.
Свойства объёмов.
Объём прямоугольного параллелепипеда.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.
Тезаурус
Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.
Основные свойства объёма:
— равные тела имеют равные объёмы;
— если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Основная литература:
Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.
Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.
Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см3). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3) и тому подобное.
Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.
Объём обозначается заглавной латинской буквой V.
Пример:
Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см3.
Рассмотрим свойства объёмов.
Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.
Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Следствие из основных свойств объёмов.
Объём куба с ребром 1/n равен 1/n3
Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см3). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро
Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n3.
Объём прямоугольного параллелепипеда
Теорема
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
Доказательство
Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10n, b∙10n, c∙10n, являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙103n равных кубов с ребром 1/10n. Так как объём каждого куба равен 1/103n, что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.
Случай второй.
Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: an, bn, cn, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, an ≤ a ≤ an’, где an’ = an+1 : 10n. Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение anbncn ≤ abc ≤ an’bn’cn’, где bn’= bn+1 : 10n, cn’ = cn+1 : 10n
По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.
Решение:
Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
А теперь найдём объём параллелепипеда:
V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см3
Ответ: V = 7500 см3.
№2.
Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см3, AB = 8 см, АА1 = 20 см.
Варианты ответов:
220 см2
100 см2
400 см2
200 см2
Решение.
Найдём длину АD:
AD = 960 : 8 : 20 = 6 см
Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см2.
Ответ: площадь закрашенной фигуры 200 см2.
Верный ответ: 200 см2.