Урок 12. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Из точки О проведём луч m, который пересекает построенную полуокружность в точке М с координатами х; у.
Обозначим угол между лучом m и положительной полуосью абсцисс буквой α.

Если угол α острый, то в прямоугольном треугольнике МОН длина катета ОН равна значению абсциссы точки М, то есть х, длина катета МН равна ординате точки М, то есть у, а длина гипотенузы ОМ равна единице.

В прямоугольном треугольнике МОН синус острого угла α равен отношению противолежащего катета МН к гипотенузе ОМ:
⁡ sin α = (МН)/(ОМ/) = y/1 = y
То есть синус острого угла α равен ординате у точки М:
sin⁡α = y
В прямоугольном треугольнике МОН косинус острого угла α равен отношению прилежащего катета ОН к гипотенузе ОМ:
cos⁡α = ОН/ОМ = x/1 = x
То есть косинус острого угла α равен абсциссе х точки М:
cos⁡α = x
Если угол альфа прямой, тупой, развёрнутый или равен нулю, то синус и косинус угла определяется по тем же формулам.
Таким образом, для любого угла α из промежутка от 0 до 180 градусов синусом угла α называется ордината соответствующей точки М единичной полуокружности, а косинусом угла α – абсцисса данной точки:
если 0°≤ α ≤180°, то
sinα = y,
cosα = x,
где (x; y) – координаты соответствующей точки единичной полуокружности.
Так как абсциссы всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от минус единицы до единицы, то справедливо неравенство: –1 ≤ cos⁡α ≤1
Так как ординаты всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от нуля до единицы, то справедливо неравенство: 0 ≤ sin⁡α ≤1
Тангенсом угла альфа называется отношение синуса альфа к косинусу альфа:
tg α = sin⁡α/cos⁡α
Котангенсом угла альфа называется отношение косинуса альфа к синусу альфа:
ctg α = cos⁡α/sin⁡α
Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, равного нулю градусов. Для этого рассмотрим луч ОА. Он пересекает единичную полуокружность в точке А. Ордината точки А равна нулю, значит синус нуля градусов равен нулю: sin⁡0° = 0. Абсцисса точки А равна единице, значит косинус нуля градусов равен одному: cos⁡0° = 1. Чтобы найти значение тангенса угла, равного нулю градусов, разделим значение синуса этого угла на значение косинуса. Тангенс угла, равного нулю градусов, равен нулю: tg 0° = sin⁡ 0°/cos⁡0° = 0/1 = 0. Котангенс угла, равного нулю градусов не определён, так как синус угла, равного нулю градусов, равен нулю и в формуле котангенса знаменатель обращается в нуль: ctg α = cos⁡0°/sin⁡0° = 1/0 – значение не определено
Рассмотрев лучи ОВ и ОС, получим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов девяносто градусов и сто восемьдесят градусов:
sin⁡ 90° = 1, cos⁡ 90° = 0,
tg 90° — не определён
сtg 90° = 0
sin⁡ 180° = 0, cos⁡ 180° = –1,
tg 180° = 0
сtg 180° — не определён