Урок 14. Формула Герона

Выведем формулу, которая связывает площадь треугольника и длины его сторон. Рассмотрим треугольник ABC в котором известны его стороны. Обозначим их a, b, c.

Для доказательства воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника. Проведем высоту BH к стороне AC треугольника ABC и обозначим ее h. Точка h разделила сторону АС на два отрезка, обозначим их х и у.

Треугольник АBН – прямоугольный. По теореме Пифагора получим: h2 = c2 − x2.
Треугольник CBH тоже прямоугольный. По теореме Пифагора получим: h2 = a2 − y2
Приравняем правые части полученных равенств.
c2 − x2 = a2 − y2 или y2 − x2 = a2 − c2
Воспользуемся формулой разности квадратов, получим:
(y − x)(y + x) = a2 − c2
Из условия известно, что отрезки х и у в сумме составляют отрезок b, поэтому верны равенства:
y + x = b и y − x = (a2 − c2) : b (2)
Преобразуем:
2y = b + (a2 − c2) : b
2y = b + (a2 — c2)/b = (b2 + a2 — c2)/b или y = (b2 + a2 — c2)/2b
Вернемся к треугольнику СВН, подставим в формулу для нахождения высоты треугольника АВС выражение для отрезка у, получим:
h2 = a2 − y2 = (a − y)(a + y) = (a − (b2 + a2 — c2)/2b)(a + (b2 + a2 — c2)/2b)
h2 = ((2ab — b2 — a2 + c2)/2b)((2ab + b2 + a2 — c2)/2b)
Проведем преобразования, получим:
h2 = (((a + b + c) — 2a)((a + b + c) — 2b)((a + b + c) — 2c)(a + b + c))/4b2
a + b + c = 2p, поэтому
h2 = ((2p — 2a)(2p — 2b)(2p — 2c)2p)/4b2 = (16(p — a)(p — b)(p — c)p)/4b2
S∆ = 1/2AC ∙ h = 1/b ∙ √(16(p — a)(p — b)(p — c)p)/4b2 = √(p(p — a)(p — b)(p — c))
SABC = √p(p — a)(p — b)(p — c), где p = (a + b + c)/2
Эта формула названа в честь древнегреческого ученого Герона.
Формулой Герона удобно пользоваться не только при вычислении площади треугольника, в котором известны три стороны, но и при вычислении площади параллелограмма, в котором известны стороны и одна из диагоналей.
В параллелограмме стороны равны 10 и 20, а одна из диагоналей равна 24. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника. Вычислив площадь одного из них, найдем площадь всего параллелограмма
P = (10 + 20 + 24)/2 = 27
S∆ = √(27∙(27 — 10)∙(27 — 20)(27 — 24) ) = 9√119
Sпараллелограмма = 18√119