Урок 15. Решение задач на признаки равенства треугольников

Конспект урока

Геометрия

7 класс

Урок № 15

Решение задач на признаки равенства треугольников

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение задач на вычисление элементов и доказательство равенства треугольников.
• Формулировка и применение при решении задач признаков равенства треугольников.
• Исследование и обоснование выбора одного из признаков при решении конкретных задач.

Тезаурус:

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений в данной системе аксиом.

Стороны треугольника – отрезки, соединяющие вершины треугольника.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7 – 9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В предыдущих уроках были рассмотрены различные способы определения и доказательства равенства треугольников, такие как: способ наложения, признаки равенства треугольников.

Сегодня мы будем решать задачи на вычисления и доказательство равенства треугольников.

Для успешного понимания материалов урока вспомним, какие треугольники называются равными.

‑ Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом попарно совмещаются вершины, углы и стороны треугольников.

‑ Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам (сторонам и углам) другого треугольника.

∆АВС = ∆А1В1С1

∠А = ∠А1

∠В = ∠В1

∠С = ∠С1

АВ = А1В1

АС = А1С1

ВС = В1С1

Повторим теоремы о равенстве треугольников, так называемые признаки равенства треугольников.

1) Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

∆АВС = ∆КМР.

2) Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

∆АВС = ∆RST.

3) Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

∆АВС = ∆А1В1С1

Решим задачи, используя признаки равенства треугольников.

Задача 1.

Отрезки AB и CD – диаметры окружности с центром в точке O. Найдите периметр треугольника AOD, если отрезок CB = 13 см, а отрезок AB = 18 см.

Дано:

окружность с центром O;

AB и CD – диаметры;

CB = 13 см;

AB = 18 см;

Найти: P∆AOD.

Решение:

1) ∆AOD = ∆OBC (по первому признаку равенства треугольников).

2) Т. к. AO = OB = OC = OD = 18:2 = 9 см (как радиусы окружностей); ∠AOD = ∠COB (т. к. вертикальные углы) → CB = AD = 13 см.

3) P∆AOD = AO + OD + AD = 9 + 9 +13 = 31 см

Ответ: 31 см.

Задача 2.

В четырёхугольнике ABCD, AB = CD, AD = CB, BE – биссектриса ∠B, DF – биссектриса ∠D.

Докажите, что ∠ABE = ∠ADF, ∆ABE = ∆CDF.

Дано:

ABCD – четырёхугольник

AB = CD,

AD = CB,

BE – биссектриса ∠B ∆ABС,

DF– биссектриса ∠D ∆CDА

Доказать:

∠ABE = ∠ADF

∆ABE = ∆CDF.

Доказательство:

1) ∆ABC = ∆ACD (по третьему признаку равенства треугольников).

2) Т. к. AC – общая сторона, AB = CD, AD = CB (по условию) →∠B = ∠D.

3) По условию BE – биссектриса ∠B ∆ABС, DF– биссектриса ∠D ∆CDА →∠B = ∠CBE +∠ABE = ∠ADF + ∠CDF = ∠D.

При этом ∠CBE = ∠ABE, ∠ADF = ∠CDF→∠B = 2∠ABE = 2∠ADF = ∠D→∠ABE = ∠ADF.

4) ∆ABE = ∆CDF

Т. к. AB = CD (по условию), ∠ABE = ∠ADF (доказано), ∠EAB = ∠CDF (т. к. ∆ABC = ∆ACD по третьему признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Материал для углубленного изучения темы.

Дано: ∆ABC, ∆А1В1С1,

АC = А1C1,

АB = А1B1

CB = C1B1

Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1.

Доказательство:

1) Приложим треугольник ∆ ABC к ∆ А1В1С1, так чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B с B1, вершины C и C1 лежали по разные стороны от прямой A1B1.

2) Соединим точки C и C1, так чтобы получился треугольник CC1B.

3) Так как BC = B1C1, → ∆CC1B – равнобедренный, по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, →∠C = ∠С1.

4) ∆CC1A – также равнобедренный (по теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника) → ∠ CС1A = ∠С1CA → ∠ACB = ∠AС1B

5) АC = А1C1, BC = B1C1, ∠ACB = ∠AС1B →∆АВС = ∆А1В1С1 (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. На рисунке изображены треугольники ABD и BCD. По какому признаку, используя данные рисунка, можно доказать их равенство?

Решение:

По рисунку видно, что ∠ADB = ∠DBC(углы отмечены двойной линией), ∠ABD = ∠BDC (углы отмечены одной линией), сторона DB – общая, следовательно, ∆ABD = ∆BCD (по второму признаку равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны).

Ответ: используя данные рисунка, можно доказать равенство треугольников, используя второй признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке CD = AB, O – центр окружности. Точки A, B, C, D лежат на окружности. CD = 17 см, CO = 15 см. Найдите периметр ∆AOB.

1) Так как по условию O – центр окружности и так как точки A, B, C, D лежат на окружности, то отрезки OA = OB = OD = OC = 15 см (как радиусы окружности). CD = AB = 17 см (по условию). Периметр ∆AOB – это сумма всех его сторон.

Р∆AOB = OA + OB + AB = 15 +15 + 17 = 47 см

Ответ: Р∆AOB = 47 см.